Arc paramétré, abscisse curviligne et courbure

Considérons une courbe $\cal {C}$ du plan $\mathbb {R}$². Supposons qu'on puisse la représenter à chaque instant t par f, un arc régulier^E.1 paramétré dans le plan par $\alpha$, paramètre indépendant du temps :

$$\subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$$

$$\alpha \longmapsto \alpha \;\stackrel{\longrightarrow}{OM}\;$$ (E.1)

où $\;\stackrel{\longrightarrow}{OM}\;$ est le vecteur position d'un point de la courbe image $\cal {C}$ = f (I), repéré dans le plan cartésien par :

$$\;\stackrel{\longrightarrow}{OM}\; \left(\vphantom{ \begin{array}{c} x(\alpha,t) \\ z(\alpha,t) \end{array} }\right. \begin{array}{c} x(\alpha,t) \\ z(\alpha,t) \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{c} x(\alpha,t) \\ z(\alpha,t) \end{array} }\right) \vec{r}\, \alpha$$ (E.2)

La longueur de l'arc entre f ($\alpha_{1}^{}$) et f ($\alpha_{2}^{}$) est définie par :

$$\alpha_{1}^{} \alpha_{2}^{} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \alpha \alpha$$ (E.3)

g_f = | f'| = |${\frac{\partial f}{\partial \alpha}}$| est appelée la métrique de la courbe $\cal {C}$ relativement à la paramétrisation f.

On définit l'application abscisse curviligne par :

$$\bar{s} \subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$$

$$\alpha \longmapsto \bar{s} \alpha \alpha_{0}^{} \alpha$$ (E.4)

Elle est dérivable et s' = | f'| > 0 ; elle admet donc une application réciproque $\bar{s}^{-1}$. Considérons l'application h = fo$\bar{s}^{-1}$. Cette application, h, paramétrise la courbe $\cal {C}$ par l'abscisse curviligne :

h : $$\bar{s}$$(I) $$\subset$$ $$\mathbb {R}$$	$$\longrightarrow$$	I $$\subset$$ $$\mathbb {R}$$	$$\longrightarrow$$	$$\mathbb {R}$$2
s	$$\longmapsto$$	$$\alpha$$ = $$\bar{s}^{-1}$$(s)	$$\longmapsto$$	h(s) = f ($$\alpha$$) =  $$\;\stackrel{\longrightarrow}{OM}\;$$  .

Dans cette représentation, la métrique de la courbe $\cal {C}$ est unitaire :

$${\frac{\partial h}{\partial s}}$$

On définit le vecteur tangent par $\vec{\tau}\,$(s) = h'(s) qu'on notera par la suite $\vec{\tau}\,$ = ${\frac{\partial \vec{r}}{\partial s}}$. On appelle la courbure de h au point s, le nombre $\kappa$ = - | h''(s)|. Le vecteur normal en s à h est alors donné par $\vec{n}\,$ = - ${\frac{h''(s)}{\kappa(s)}}$. Les deux vecteurs $\vec{\tau}\,$ et $\vec{n}\,$ forment une base locale orthonormée ^E.2.

Figure: Définition des grandeurs géométriques utilisées dans le texte.