Coordonnées « intrinsèques »

On introduit $\theta$, l'angle entre la normale et la direction z (voir figure []). Les vecteurs tangent et normaux s'expriment alors en fonction de $\theta$ :

$$\vec{\tau}\, \left(\vphantom{ \begin{array}{c} \cos(\theta) \\ - \sin(\theta) \end{array} }\right. \begin{array}{c} \cos(\theta) \\ - \sin(\theta) \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{c} \cos(\theta) \\ - \sin(\theta) \end{array} }\right)$$ = (E.5)

$$\vec{n}\, \left(\vphantom{ \begin{array}{c} \sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{array} }\right. \begin{array}{c} \sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{c} \sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{array} }\right)$$ = (E.6)

On a alors ${\frac{\partial \vec{\tau}}{\partial \theta}}$ = - $\vec{n}\,$. La courbure s'exprime alors simplement :

$$\kappa \vec{n}\, \vec{n}\, {\frac{\partial \vec{\tau}}{\partial s}}$$ =

$$\vec{n}\, \left(\vphantom{ \frac{\partial \vec{\tau}}{\partial \theta} \, \frac{\partial \theta}{\partial s} }\right. {\frac{\partial \vec{\tau}}{\partial \theta}} {\frac{\partial \theta}{\partial s}} \left.\vphantom{ \frac{\partial \vec{\tau}}{\partial \theta} \, \frac{\partial \theta}{\partial s} }\right)$$ = (E.7)

soit :

$$\kappa {\frac{\partial \theta}{\partial s}}$$ (E.8)

Si on connaît la longueur L de l'arc ainsi que la position (x₀, z₀) du point d'abscisse curviligne s₀ = 0, la connaissance de $\theta$(s) est suffisante pour construire la courbe. En effet :

$$\int_{s=0}^{s=L} \theta$$ x = (E.9)

$$\int_{s=0}^{s=L} \theta$$ z = (E.10)

On appelle représentation « intrinsèque », la représentation de la courbe $\cal {C}$ en termes d'angle polaire $\theta$ et d'abscisse curviligne s.