Reparamétrisation dynamique et « choix de jauge »

La paramétrisation f (et de la même façon, h) de la courbe $\cal {C}$ dépend a priori du temps. Cette dépendance temporelle de la paramétrisation traduit la possibilité de reparamétriser la courbe.

Une reparamétrisation de la courbe se traduit pour la dynamique par l'introduction d'une vitesse tangentielle effective. La dynamique de la courbe ainsi que sa géométrie doivent en effet être indépendant d'une éventuelle reparamétrisation de la courbe. Nous disposons alors, via la reparamétrisation, d'un « choix de jauge » sur la vitesse tangentielle. Un choix pratique est celui qui conserve la longueur d'arc relative ${\frac{s}{L}}$, où L est la longueur de l'arc. Cette condition peut être récrite :

$${\frac{\partial (s/L)}{\partial t}}$$ (E.23)

soit :

$${\frac{\partial s}{\partial t}} {\frac{s}{L}} {\frac{\partial L}{\partial t}}$$ (E.24)

En utilisant alors les équations [] et [], nous obtenons l'expression de la vitesse tangentielle en fonction de la composante normale :

$$\tau \left(\vphantom{ s(\alpha) }\right. \alpha \left.\vphantom{ s(\alpha) }\right) \tau \left(\vphantom{ s(0) }\right. \left.\vphantom{ s(0) }\right) {\frac{s}{L}} \left[\vphantom{ v_{\tau} \left( L \right) - v_{\tau} \left( s(0) \right) }\right. \tau \left(\vphantom{ L }\right. \left.\vphantom{ L }\right) \tau \left(\vphantom{ s(0) }\right. \left.\vphantom{ s(0) }\right) \left.\vphantom{ v_{\tau} \left( L \right) - v_{\tau} \left( s(0) \right) }\right] \int^{s(\alpha)}_{s(0)} \kappa {\frac{s}{L}} \int^{L}_{s(0)} \kappa$$ (E.25)

La vitesse tangentielle en tout point est donc connue, à une constante v_$\tau$(s(0)) près, par la donnée de la courbure et de la vitesse normale. La constante est alors déterminée par les conditions physiques du problème.