Intégration numérique

La géométrie de la courbe $\cal {C}$ est déterminée à chaque instand par la donnée de $\theta$.

La vitesse normale en chaque point de la courbe est donnée par la physique du problème et dépend de la géométrie de la courbe : v_n = F($\theta$,${\frac{\partial \theta}{\partial s}}$,${\frac{\partial^2 \theta}{\partial s^2}}$, ^... ). Dans le cas du méandre des marches (voir chapitre ), elle prend la forme :

$${\frac{\partial}{\partial s}} \left[\vphantom{ a_0 \, \sin(\theta) \, \cos(\theta) + a_1 \, \cos(\theta) \, \frac{\partial \kappa}{\partial s} }\right. \theta \theta \theta {\frac{\partial \kappa}{\partial s}} \left.\vphantom{ a_0 \, \sin(\theta) \, \cos(\theta) + a_1 \, \cos(\theta) \, \frac{\partial \kappa}{\partial s} }\right]$$ (E.26)

avec $\kappa$ = $\partial$$\theta$/$\partial$s.

À cause de la reparamétrisation dynamique, la vitesse tangentielle n'a plus de signification physique qu'aux extrémités de la courbe (i.e. en s = 0 et s = L). Pour la simulation du méandre, nous avons : v_$\tau$(0) = v_$\tau$(L) = 0. On peut en tout autre point la calculer à l'aide de l'équation [].

Cela permet d'intégrer, dans les équations dynamiques, la reparamétrisation de $\cal {C}$ qui conserve la longueur d'arc relative ${\frac{s}{L}}$ constante. Cela signifie que lors de l'intégration numérique, les points représentatifs de la courbe restent uniformement répartis.

Les évolutions temporelles de $\theta$ et L sont alors respectivement données par les équations [] et [].