Considérations phénoménologiques

Nous avons, dans cette thèse, étudié la dynamique non linéaire de surfaces vicinales portées hors équilibre thermodynamique, lors de processus tels que la croissance ou l'électromigration. L'état d'un système thermodynamiquement hors équilibre n'est plus déterminé, comme dans le cas de l'équilibre, par la minimisation d'une fonctionnelle d'énergie. Il existe, au sein d'un tel système, des flux macroscopiques (d'énergie ou de matière) résiduels. La dynamique du système dépend grandement de la façon dont s'effectuent, au cours du temps, les processus de transfert. La description dynamique de tels systèmes doit donc prendre en compte convenablement les processus cinétiques mis en jeu. On a alors a priori besoin d'un modèle « microscopique » détaillant la façon dont s'effectuent ces transferts.

Notre étude sur la dynamique hors équilibre des surfaces vicinales a pour fondement un tel modèle - celui de Burton, Cabrera et Frank [#!BCF51!#] -. À partir des équations microscopiques du modèle, nous avons pu dériver, proche du seuil de l'instabilité, les équations aux dérivées partielles non linéaires, déterminant la dynamique de la surface. Ces équations sont génériques en ce que leur forme ne dépend pas des particularités du système physique considéré. C'est ainsi que l'équation CMV, décrivant l'instabilité de mise en paquets des marches, en l'absence de désorption (cf chap. ), se rencontre aussi dans l'étude de la formation de rides sur le sable, sous l'action du vent [#!Csahok00!#]. La physique du système n'entre en jeu que dans la détermination des coefficients de l'équation dynamique. Cette dernière doit cependant être compatible avec les symétries et le caractère conservé du système ; ce sont ces principes généraux qui fixent la forme de l'équation dynamique.

Une approche plus phénoménologique, fondée sur des principes généraux de symétrie et de lois de conservation, peut ainsi être adoptée pour étudier la dynamique des systèmes hors équilibre. Considérons que l'on veuille décrire la dynamique d'un front de croissance et supposons que celle-ci puisse être traduite par une simple équation dynamique (équation aux dérivées partielles). C'est le cas, dans de nombreux systèmes physiques hors équilibre, lorsqu'on se place proche du seuil de l'instabilité ; seules les échelles de temps et d'espace propres au développement de la perturbation sont pertinentes pour la dynamique ; les non-localités disparaissent alors.

L'approche phénoménologique reposant sur des principes très généraux et donc indépendants de systèmes physiques particuliers permet une classification simple des comportements dynamiques en classes d'évolution. Une telle classification des dynamiques de fronts de croissance à été proposée récemment par Csahok et al. [#!Csahok99!#] ; donnons en quelques résultats importants. Intéressons nous à la classe d'équation décrivant la dynamique de fronts légèrement déformés (par rapport à un front plan). Afin de simplification, considérons un front unidimensionnel et supposons qu'il puisse être représenté par une fonction h dépendant d'une unique variable spatiale : x. Si rien ne permet de fixer a priori la position de l'interface (on parlera d'invariance par translation de la position du front), seules les dérivées de h doivent intervenir dans l'équation dynamique. On peut, dans un premier temps distinguer deux grandes classes de dynamique : celle pour laquelle aucune loi de conservation n'est présente ; et l'autre suivant une loi de conservation globale (par exemple conservation de la matière). Intéressons nous tout d'abord à la première.