Cas conservé

Lorsque la dynamique doit de plus obéir à une loi de conservation globale (c'est le cas des surfaces vicinales en l'absence de désorption où, les adatomes ne s'évaporant pas de la surface, la quantité de matière est conservée), les non-linéarités précédentes sont interdites. En effet, elles ne peuvent s'écrire comme la divergence d'un flux et la vitesse moyenne du front n'est pas alors identiquement nulle. La classification précédente pour les systèmes non conservés doit être revue pour les systèmes conservés en prenant en compte la nullité de la vitesse moyenne. Si l'on impose la symétrie x $\rightarrow$ - x, la dynamique est décrite par une équation de la forme :

$${\frac{\partial}{\partial_x}} \left[\vphantom{ a_1 \; \arctan (h_x) + \frac{b_1}{\sqrt{1+h_x^2... ...rtial_x} \left( \frac{h_{xx}}{\left( 1 + h_x^2 \right)^{3/2}} \right) }\right. {\frac{b_1}{\sqrt{1+h_x^2}}} {\frac{\partial}{\partial_x}} \left(\vphantom{ \frac{h_{xx}}{\left( 1 + h_x^2 \right)^{3/2}} }\right. {\frac{h_{xx}}{\left( 1 + h_x^2 \right)^{3/2}}} \left.\vphantom{ \frac{h_{xx}}{\left( 1 + h_x^2 \right)^{3/2}} }\right) \left.\vphantom{ a_1 \; \arctan (h_x) + \frac{b_1}{\sqrt{1+h_x^2... ...rtial_x} \left( \frac{h_{xx}}{\left( 1 + h_x^2 \right)^{3/2}} \right) }\right]$$ (F.3)

Dans ce cas, la dynamique est fortement non linéaire ; on ne peut plus écrire l'équation d'évolution comme une partie linéaire, corrigée par le premier terme non linéaire relevant. Toutes les non-linéarités sont ici pertinentes et doivent être prises en compte. Cette équation peut être récrite en coordonnées intrinsèques (cf annexe ) :

$$\partial_{s}^{} \left[\vphantom{ \theta + \partial_s \kappa }\right. \theta \partial_{s}^{} \kappa \left.\vphantom{ \theta + \partial_s \kappa }\right]$$ (F.4)

où v_n est la vitesse normale du front, s l'abscisse curviligne et $\theta$ l'angle polaire entre la direction de la normale et une direction fixée.

La dynamique de l'instabilité de méandre sur une surface vicinale en croissance et en absence de désorption obéit à une équation similaire (voir chapitre ). Elle prend, en coordonnées intrinsèques, la forme suivante :

$$\partial_{s}^{} \left[\vphantom{ \cos(\theta) \, \sin(\theta) + \cos(\theta) \, \partial_s \kappa }\right. \theta \theta \theta \partial_{s}^{} \kappa \left.\vphantom{ \cos(\theta) \, \sin(\theta) + \cos(\theta) \, \partial_s \kappa }\right]$$ (F.5)

L'équation phénoménologique précédente [], obtenue pour des fronts faiblement déformés correspond à la limite $\theta$ $\ll$ 1 de l'équation du méandre [].

La dynamique décrite par cette équation donne lieu à l'émergence d'une structure cellulaire dont la longueur donne est fixée dès les premiers instants du développement de l'instabilité et correspond au mode le plus instable déterminé par l'analyse linéaire (voir figure [-a)]).

Figure: Dynamiques de fronts de croissance obéissant à une loi de conservation globale.

La seconde sous classe de dynamique conservée correspond à celle où une anisotropie est présente. La dynamique du front est alors gouvernée par une équation de la forme :

$$\alpha_{1}^{} \beta_{1}^{} \beta_{2}^{} \partial_{xx}^{} \left[\vphantom{ h_x^2 }\right. \left.\vphantom{ h_x^2 }\right]$$ (F.6)

Cette équation a été obtenue dans le cas de la modélisation de la formation de rides sur le sable sous l'action du vent [#!Csahok00!#] ; celui-ci étant responsable de l'anisotropie du système. Nous avons aussi dérivé cette équation à partir d'un modèle microscopique dans l'étude de l'instabilité de mise en paquets des marches pour une surface vicinale où la désorption d'adatomes est négligeable (voir chapitre ). L'évolution du système suit alors une dynamique particulière. Après un régime transitoire où se développe une structure cellulaire dont la longueur d'onde caractéristique correspond à celle du mode le plus instable, la dynamique se poursuit par un processus de coalescence ou mûrissement ( « coarsening » ) où les cellules formées adjacentes se fondent deux à deux en une cellule deux fois plus grosse et qui voit la longueur d'onde typique de la structure formée augmenter au cours du temps (voir figure [-b)]).

Cette approche phénoménologique a le grand avantage de pouvoir classer les dynamiques en de grandes familles, indépendamment des particularités sous-jacentes de tel ou tel système physique. On saisit ainsi mieux le caractère « générique » des équations ainsi déterminées. Cependant, de par le caractère générique même de cette approche, les équations dynamiques ainsi identifiées ne sont pas entièrement déterminées. En effet, ce sont les coefficients entrant en jeu dans ces équations qui « portent » la physique du système étudié. La détermination de ces coefficients ne peut donc se faire qu'en s'appuyant sur un système physique particulier et en dérivant les équations maîtresses de la dynamique à partir d'un modèle microscopique. La détermination des coefficients de l'équation non linéaire permettra d'identifier les effets physiques responsables de tels ou tel instabilité et plus encore, de rendre compte des effets physiques responsables du comportement dynamique observé.

De plus, l'approche phénoménologique ne permet de déterminer que les comportements dynamiques compatibles avec les lois générales de symétrie et de conservation ; elle ne nous dit rien sur la valeur des coefficients qui composent l'équation d'évolution. En particulier cette approche ne permet pas de déterminer si un coefficient s'annule ou devient négligeable donc non pertinent pour la dynamique. Considérons l'instabilité de mise en paquets des marches sur une surface vicinale ; cela correspond à la famille de comportement dynamique en présence d'anisotropie. Dans le cas où la désorption est présente, la dynamique de la surface suit une équation de Benney donnant naissance à une structure cellulaire régulière dérivant le long de la structure. Si la désorption est absente, le système est conservé et la dynamique suit une « équation des rides » où la structure cellulaire subit une processus de mûrissement. L'approche phénoménologique permet de déterminer la dynamique de ces deux cas limites mais elle ne nous donne aucune information sur le passage de l'une à l'autre. Le préfacteur de la non-linéarité de Benney doit être proportionnel au taux de désorption de la surface vicinale car il s'annule avec celui-ci. Lorsque ce taux est suffisamment important, la non-linéarité de Benney est pertinente pour la dynamique et détermine celle-ci. S'il est nul, cette non-linéarité disparaît et on obtient l'équation des rides. Mais que ce passe-t-il lorsque le taux de désorption n'est pas nul mais très faible ; la dynamique n'est pas donnée par l'équation des rides car elle n'est pas conservée et cependant, le préfacteur de la non-linéarité de Benney est trop faible pour que cette dernière puisse être pertinente pour la dynamique ? L'approche phénoménologique ne permet pas d'y répondre. Une dérivation de l'équation dynamique à partir d'un modèle microscopique du système est alors nécessaire ; ce qui est fait au chapitre .

L'intérêt de prendre les surfaces vicinales comme système physique type pour l'étude des comportements dynamiques hors équilibre apparaît clairement : outre que ce système exhibe une grande richesse de comportements dynamique, ceux-ci correspondent exactement aux grandes familles de comportement dynamiques qu'une approche phénoménologique permet de déterminer. L'étude de la dynamique des instabilités des surfaces vicinales à partir d'un modèle microscopique pourra ainsi aisément servir de base à une vision plus globale de la dynamique des systèmes hors équilibre en général.