Cas non conservé

Si en l'absence de perturbation, le front plan se déplace à vitesse constante C alors le front faiblement déformé soumis à une perturbation obéit à une équation de la forme :

$${\frac{C}{2}}$$ (F.1)

qui est connue sous le nom d'équation de Kuramoto-Sivashinsky (KS) (si la vitesse moyenne du front plan est nulle, Csahok et al. [#!Csahok99!#] ont montré que la non-linéarité pertinente s'écrit h_xx²). Cette équation a été dérivée à partir de nombreux systèmes différents. Kuramoto [#!Kuramoto76!#] l'a obtenue dans la modélisation de la dynamique d'instabilités de réaction-diffusion de type Belousov-Zabotinskii. Sivashinsky [#!Sivashinsky77!#], quant à lui l'a rencontrée dans l'étude des instabilités thermo-diffusives d'un front de flammes lamellaires. Mais elle apparaît aussi dans de nombreux autres contextes tels que le problème de l'écoulement de Poiseuille [#!Benney66!#] d'une couche de fluide sur un plan incliné ou la croissance libre lorsque la dynamique est limitée par la cinétique [#!Misbah91!#]. Elle apparaît aussi en croissance par épitaxie dans la description de la dynamique de l'instabilité de méandre des marches sur une surface vicinale en croissance lorsque la désorption est présente [#!Bena93!#,#!Pierre-Louis98b!#]. L'intégration de cette équation donne naissance, après un régime transitoire où apparaît une structure cellulaire de longueur d'onde sélectionnée par le mode le plus instable donné par l'analyse linéaire, à une dynamique chaotique spatio-temporellement où disparaît la structure cellulaire initiale (voir figure [-a)]).

Figure: Dynamiques de fronts de croissance en l'absence de loi de conservation après une perturbation aléatoire du front plan.

L'équation de Kuramoto-Sivashinsky possède une propriété de symétrie envers la transformation x $\rightarrow$ - x. Si cette symétrie est brisée, l'équation décrivant la dynamique du front prend la forme suivante :

$$\alpha_{1}^{} \beta_{1}^{} \alpha_{2}^{}$$ (F.2)

connue sous le nom d'équation de Benney. Cette dernière est très similaire à celle de Kuramoto-Sivashinsky, notamment la non-linéarité reste identique. Les termes supplémentaires (dont les préfacteurs sont $\alpha_{1}^{}$ et $\beta_{1}^{}$) traduisent l'anisotropie du système et sont de nature propagative. Si les préfacteurs de ces termes sont faibles, on retrouve la dynamique chaotique de l'équation KS. En revanche, si ces préfacteurs sont importants, une dynamique régulière se met en place où le front présente une structure cellulaire régulière dérivant à vitesse constante le long du front (voir figure [-b)]). Dans la limite où seuls dominent les termes $\beta_{1}^{}$ et $\alpha_{2}^{}$, on trouve l'équation de Korteweg-de-Vries connue pour donner naissance à une famille régulière de solitons. Cette équation est utilisée pour la modélisation de trafic routier. Elle a aussi été dérivée depuis un modèle microscopique dans l'étude de la dynamique de l'instabilité de mise en paquets des marches sur une surface vicinale en évaporation [#!Misbah96!#]. En effet, si le front représente le profil de la surface vicinale le long de sa vicinalité, l'anisotropie du système vient de la dynamique même de la surface, les termes propagatifs de l'équation précédente traduisent la dynamique des marches qui dérivent le long de la surface. La possibilité de désorption des adatomes de la surface confèrent le caractère non conservé de la dynamique. Nous avons montré au chapitre que cette dynamique apparaît en croissance aussi bien qu'en évaporation sur une surface vicinale soumise à un courant électrique descendant les marches et en présence de désorption.