Méandre des marches

Il a été montré en 1990 par Bales et Zangwill [#!Bales90!#] qu'une marche droite se déplaçant grâce à un flux externe est morphologiquement instable au-delà d'une valeur critique du flux incident. Cette instabilité se produit à condition que les atomes provenant de la terrasse inférieure s'incorporent plus facilement que ceux issus de la terrasse supérieure (effet Ehrlich-Schwoebel (ES) [#!Ehrlich66!#] [#!Schwoebel66!#]). Cette instabilité est l'analogue unidimensionnel de l'instabilité de Mullins et Sekerka [#!Mullins64!#]. Une fois le seuil de l'instabilité atteint, une perturbation initialement faible de la marche s'amplifie exponentiellement dans le temps et l'analyse linéaire (réalisée par Bales et Zangwill) cesse d'être valable. La première étude non linéaire est due à Bena et al. [#!Bena93!#] en 1993. Ils ont montré que près du seuil de l'instabilité (c.à.d. si la valeur du flux est légèrement supérieure à sa valeur critique), la dynamique de la marche est régie par une équation non linéaire de type Kuramoto-Sivashinsky (KS), connue pour générer du chaos spatio-temporel. En 1995 débutait dans notre groupe la thèse d'O. Pierre-Louis. Elle a porté sur l'analyse d'un train de marches. Il ressort de ce travail que la dynamique des marches est régie par une équation de KS modifiée, la modification majeure étant le couplage de la marche à ses voisines à travers le champ élastique ou via le champ de diffusion des adatomes. Pour un train synchrone, cette équation se réduit à celle de KS. Ces études ont été menées dans un contexte où la désorption des adatomes est probable sur une longueur de l'ordre de la largeur d'une terrasse. Or, dans de nombreuses circonstances, la désorption des adatomes est faible. Il a été réalisé [#!Pierre-Louis98a!#] que la limite d'une désorption faible est singulière, en ce sens que, à la différence de l'équation KS, l'équation d'évolution contient (même pour un flux très faible) de très fortes non-linéarités. L'étude numérique de cette équation a révélé une structure cellulaire avec une certaine longueur d'onde fixée dès le premier stade de la dynamique. La rugosité de le la marche croît indéfiniment au cours du temps comme $\sqrt{t}$ et le sommet de chaque cellule présente un pic très prononcé.

Notre contribution a porté sur les points suivants.

(i) Nous avons réalisé que le pic au sommet des cellules n'est que le résultat d'un bruit numérique subtil. Dans un premier temps nous avons développé des méthodes numériques variées (impliquant une formulation intrinsèque et faisant usage des notions subtiles de géométrie différentielle) qui nous ont permis de prouver que les pics étaient parasites. Nous avons mis en évidence le fait que la structure cellulaire développe des plateaux aux sommets (cf. fig. []).

Figure: Méandre montrant une structure cellulaire avec plateaux aux sommets.

Nous avons ensuite rendu compte analytiquement de ces résultats. L'accord entre l'analyse numérique et analytique est excellent. Il a été également possible de donner une interprétation simple et transparente de l'équation d'évolution.

(ii) Les cellules, représentant la modulation du profil de la marche, manifestent une symétrie entre l'avant et l'arrière. Cette symétrie est présente dans l'équation d'évolution elle-même mais pas dans le modèle complet de BCF. Nous nous sommes attachés à comprendre cet effet. Nous avons réalisé que ceci est lié au fait que l'équation d'évolution est le résultat d'un développement (singulier) au plus bas ordre en un petit paramètre (qui est proportionnel au flux incident). En poussant le développement à l'ordre suivant, nous avons montré que l'équation d'évolution ne jouit plus de la symétrie avant/arrière. L'analyse numérique révèle effectivement cette brisure de symétrie (voir fig. []).

Figure: Méandre avec symétrie avant-arrière brisée.

Nous avons trouvé que la rugosité continue à suivre la même loi de puissance en $\sqrt{t}$ en dépit du fait que la forme qualitative des cellules soit différente.

(iii) Nous avons ensuite analysé l'effet de l'élasticité sur la structure. Plus précisément, nous avons inclu l'interaction entre marches dans la dynamique d'évolution. Cette étape est dans sa première phase de développement, mais dores et déjà on peut dire que l'élasticité bouleverse le comportement de la dynamique : au lieu d'un choix d'une longueur d'onde depuis le premier stade de croissance, nous trouvons que l'élasticité induit une maturation (coarsening en anglais) de la structure (cf. fig. []).

Figure: Méandre avec élasticité.

En d'autres termes, les cellules « coalescent » entre elles pour former de plus grosses cellules et ce sans le moindre signe précurseur d'une saturation de la longueur d'onde moyenne. En dépit d'un changement majeur de la dynamique, la rugosité continue et ce de manière robuste, à suivre la même loi de puissance.