Mise en paquets des marches

L'autre instabilité principale que révèle une surface vicinale est la mise en paquets des marches. Une telle instabilité se rencontre dans de nombreux contextes : (i) lors de la croissance par jet moléculaire en présence de contamination, (ii) lors de la sublimation si l'effet ES est important, (iii) en présence d'un courant électrique perpendiculaire aux marches... C'est sur cette dernière situation que nous avons porté notre attention.

Stoyanov [#!Stoyanov91!#] a montré que la présence d'une force d'électromigration dans la direction descendante des marches conduit à une instabilité de mise en paquets des marches. Misbah et Pierre-Louis [#!Misbah96!#] ont montré que près du seuil de l'instabilité (le seuil est dû à la compétition entre les forces élastiques qui stabilisent la surface vicinale et la force d'électromigration qui la déstabilise) la dynamique de la densité de marches $\rho$ est régie, dans la limite continue, par l'équation ⁴ :

$${\frac{\partial \rho}{\partial t}} {\frac{\partial^2 \rho}{\partial z^2}} \alpha {\frac{\partial^3 \rho}{\partial z^3}} {\frac{\partial^4 \rho}{\partial z^4}} \rho {\frac{\partial \rho}{\partial z}}$$ (1)

La hauteur h de la surface, reliée à la densité de marches par $\rho$ = $\partial$h/$\partial$z, suit quant à elle l'équation dynamique suivante :

$${\frac{\partial h}{\partial t}} {\frac{\partial^2 h}{\partial z^2}} \alpha {\frac{\partial^3 h}{\partial z^3}} {\frac{\partial^4 h}{\partial z^4}} \left(\vphantom{ \frac{\partial h}{\partial z} }\right. {\frac{\partial h}{\partial z}} \left.\vphantom{ \frac{\partial h}{\partial z} }\right)^{2}_{}$$ (2)

qui est un mélange entre l'équation KS (ou de Burger ; obtenue si l'on fait abstraction du terme de dérivée troisième) et l'équation de Korteweg-de-Vries - KdV - (obtenue si l'on ignore les dérivées paires). L'équation KS est connue pour générer du chaos, tandis que celle de KdV admet une solution en forme de soliton. En présence de tous les termes le profil de la densité se présente sous forme d'une modulation spatiale qui est soit chaotique (si les termes KS dominent) ou régulière sous forme de multi-pulses (si les termes KdV prévalent) (voir figure []).

Figure: Dynamique du profil de la surface en présence de désorption.

On retient le point essentiel, celui de l'existence d'une taille caractéristique des paquets (par opposition à une maturation où la taille latérale de la modulation croît avec le temps). Dans le cas du système Si(111), l'un des exemples canonique amplement étudié expérimentalement, on observe une maturation : la taille des paquets continue à augmenter dans le temps (les gros paquets croissent au profit des petits). La différence avec le traitement théorique mentionné plus haut (qui conduit à une échelle caractéristique de la taille des paquets), provient du fait que la longueur de diffusion (c'est la distance moyenne que parcourent les adatomes avant de désorber de la surface) est grande vis-à-vis de la largeur de la terrasse, mais petite vis-à-vis de l'échelle caractéristique de la modulation de la surface. Autrement dit, à l'échelle de la modulation de la surface, il existe une désorption importante, ce qui ne semble pas être le cas pour le Si(111).

Notre contribution dans cette partie se résume comme suit.

(i) Nous nous sommes intéressés à la limite où la désorption est faible à l'échelle de la modulation de la surface. Cette étude est motivée par les expériences sur le Si(111) où la longueur de diffusion est certainement grande devant la taille de la modulation de la surface [#!Latyshev89!#]. Dans ce régime nous avons dérivé une nouvelle équation d'évolution pour le profil de la surface ⁵ :

$${\frac{\partial h}{\partial t}} {\frac{\partial^2 h}{\partial z^2}} \alpha{^\prime} {\frac{\partial^3 h}{\partial z^3}} {\frac{\partial^4 h}{\partial z^4}} {\frac{\partial^2}{\partial z^2}} \left[\vphantom{ \left( \frac{\partial h}{\partial z} \right)^2 }\right. \left(\vphantom{ \frac{\partial h}{\partial z} }\right. {\frac{\partial h}{\partial z}} \left.\vphantom{ \frac{\partial h}{\partial z} }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{ \left( \frac{\partial h}{\partial z} \right)^2 }\right]$$ (3)

Cette équation est foncièrement différente de celle obtenue dans le cas d'une désorption importante (cf. équation []). L'analyse numérique révèle une maturation (cf. fig. []) où la distance typique entre les paquets croît dans le temps comme $\sqrt{t}$, comme observé sur le Si(111) [#!Yang96!#].

Figure: Simulation numérique de l'équation [].

(ii) Nous avons inclu les termes d'ordre supérieur dans le développement près du seuil de l'instabilité et montré qu'à grand temps un précurseur envers une saturation peut se manifester. Actuellement il n'a pas encore été possible d'estimer ce temps, tant il est difficile d'avoir des informations précises sur les différents coefficients physiques.

(iii) Nous avons finalement établi un pont entre la limite où la désorption est absente (cas dit conservé) et celle où elle ne l'est pas (cas dit non conservé). Nous avons montré que cette limite est subtile. En particulier, dans le cas non conservé, mais avec une faible désorption, les non-linéarités présentes ne sont pas celles que l'on aurait si l'on autorisait une forte amplitude de la désorption (la non-linéarité de type KS s'évanouit plus rapidement que d'autres non-linéarités si l'on prend la limite de faible désorption). Cette étude nous permet maintenant d'avoir une image complète de la dynamique des surfaces vicinales dans la limite continue.