Développement P $\ll$ 1

Afin de poursuivre l'analyse analytique de l'effet d'advection, nous pouvons développer la relation [] afin d'exprimer $\omega$ explicitement. Comme nous nous intéressons aux effets de l'advection, nous nous restreindrons à l'étude de l'instabilité de mise en paquets des marches et prendrons donc formellement q = 0 dans l'éq. []. Le développement de la relation [] est effectué pour de petits nombres de Péclet (P $\ll$ 1) et un faible effet Ehrlich-Schwoebel ($\Delta$$\nu$ $\ll$ 1) et conduit à :

$$\Im \omega \phi \left(\vphantom{ 1 - \frac{6\nu^2 {\cal A} c_{eq}^0}{2\nu+\nu^2} (1-\cos(\phi)) }\right. {\frac{6\nu^2 {\cal A} c_{eq}^0}{2\nu+\nu^2}} \phi \left.\vphantom{ 1 - \frac{6\nu^2 {\cal A} c_{eq}^0}{2\nu+\nu^2} (1-\cos(\phi)) }\right)$$ = (A.16)

pour la partie imaginaire, liée aux propriétés de propagation de la perturbation et à :

$$\Re \omega {\frac{2 \, P \, \nu \, \Delta\nu}{(2\nu+\nu^2)^2}} \phi$$ = (A.17)

$${\frac{2 \, P \, \nu \, c_{eq}^0}{(2\nu+\nu^2)}} \phi \phi \phi_{0}^{}$$ (A.18)

$$\alpha_{\nu}^{} \phi \phi \phi_{0}^{}$$ (A.19)

$${\frac{12 \nu^2 {\cal A} c_{eq}^0}{2\nu+\nu^2}} \phi$$ (A.20)

pour la partie réelle, où cos($\phi_{0}^{}$) = ${\frac{\nu -2}{\nu + 2}}$ et $\alpha_{\nu}^{}$ = ${\frac{\nu^2+6\nu+12}{6(2\nu+\nu^2)}}$.

Examinons maintenant en détail la partie réelle de $\omega$. Le premier terme [] de $\Re$e($\omega$) est le terme stabilisant (envers la mise en paquets) habituel dû à la présence d'un effet Ehrlich-Schwoebel. Les deux termes suivants ([] et []) sont précisément reliés à l'advection qui brise la symétrie droite/gauche et sont déstabilisant. Le dernier terme [] est un terme stabilisant dû aux interactions élastiques entre marches. Le premier, second et quatrième terme ([], [] et []) peuvent être obtenus en utilisant l'approximation quasi statique alors que le troisième terme [] est une correction si nous relaxons cette approximation. Ainsi, l'approximation quasi statique habituelle peut être vue comme une approximation d'ordre un en le nombre de Péclet P de la solution complète des équations [] à [] du modèle BCF ; en d'autres termes l'approximation quasi statique consiste à négliger les termes d'ordre P² dans la dynamique.

La partie réelle de $\omega$ peut être récrite :

$$\Re \omega \phi \phi$$ = (A.21)

avec

$${\frac{2\nu c_{eq}^0}{2\nu+\nu^2}} \alpha_{\nu}^{} {\frac{12 \nu^2 {\cal A} c_{eq}^0}{(2\nu+\nu^2)^2 P}}$$ A = (A.22)

$${\frac{2\nu}{A}} \left[\vphantom{ \frac{4 \nu c_{eq}^0 - \Delta \nu + \left( \frac{\nu^2+6\nu+12}{3} \right) P}{(2\nu+\nu^2)^2} }\right. {\frac{4 \nu c_{eq}^0 - \Delta \nu + \left( \frac{\nu^2+6\nu+12}{3} \right) P}{(2\nu+\nu^2)^2}} \left.\vphantom{ \frac{4 \nu c_{eq}^0 - \Delta \nu + \left( \frac{\nu^2+6\nu+12}{3} \right) P}{(2\nu+\nu^2)^2} }\right]$$ B = (A.23)

Un critère d'instabilité pour la mise en paquets des marches est alors B < 1, i.e : $\Delta$$\nu$ < 4 $\nu$ c_eq⁰ + ${\frac{\nu^2+6\nu+12}{3}}$ P  . En variable physique, cela prend la forme :

$${\frac{d_--d_+}{d_-+d_+}} \Omega \beta$$ (A.24)

avec $\beta$ = 1 + ${\frac{\ell}{12}}$${\frac{d_++d_-}{d_+d_-}}$ + ${\frac{4}{\ell}}$${\frac{d_+d_-}{d_++d_-}}$. Un résultat important est que le train de marche est instable vis-à-vis de la mise en paquets des marches même pour de très faibles vitesses de croissance (P $\ll$ P_N), dès lors que l'effet Ehrlich-Schwoebel est suffisamment faible : d_- - d₊ < 2 (d_- + d₊) $\Omega$ c_eq⁰.

À partir des équations [] à [], on détermine le maximum de la partie réelle de $\omega$, qui donne le taux de croissance du mode le plus instable. On trouve (toujours avec un faible effet Ehrlich-Schwoebel et en prenant en compte que $\cal {A}$c_eq⁰ $\ll$ 1) :

$$\Re \omega {\frac{8 \, P \, c_{eq}^0}{(2+\nu)^3}} {\frac{4 \, \nu \, \alpha_{\nu}}{(2+\nu)^3}} {\frac{P^2}{\nu}} {\frac{4 \, P \, \Delta\nu}{\nu (2+\nu)^3}}$$ (A.25)

Le temps caractéristique de développement de l'instabilité s'exprime en nombre de monocouche comme :

$$\Omega {\frac{2 \, \pi}{\Re e(\omega)_{max} / P}}$$ (A.26)

Pour des paramètre typiques du Si(1,1,1) [#!Liu98b!#], en supposant que l'effet ES est faible à suffisamment haute température, nous trouvons que l'instabilité devrait se développer après la croissance d'environ 100 à 10000 monocouches. L'ordre de grandeur trouvé suggère que cette instabilité de mise en paquets durant une croissance épitaxiée devrait être observable expérimentalement.

L'instabilité observée durant la croissance d'un buffer de Silicium (1, 1, 1) par Berbezier et al. [#!Lapena98!#] révèle une instabilité de mise en paquets des marches dans des conditions de vide poussé. Cette instabilité ne s'est manifestées qu'après la croissance d'un buffer d'environ 500nm à 1$\mu$m d'épaisseur, une instabilité qui semble correspondre à celle trouvée ici.