Analyse linéaire

Les équations constitutives du modèle de croissance sont celles décrites au chapitre , dans leur limite sans désorption ( $\tau$ $\rightarrow$ + $\infty$). Nous conservons cependant les termes non quasi statiques et advectifs. L'équation de diffusion sur les terrasses prend alors la forme :

$${\frac{\partial c_m}{\partial t}} \Delta {\frac{\partial c_m}{\partial z}}$$ (A.4)

Les relations cinétiques d'attachement nous fournissent deux conditions aux limites :

$$\vec{\bf n}_{m}^{} \vec{\bf J}_{m}^{} \nu_{+}^{} \left[\vphantom{ c_m(z_m) - c_{eq_m} }\right. \left.\vphantom{ c_m(z_m) - c_{eq_m} }\right]$$ = (A.5)

$$\vec{\bf n}_{m+1}^{} \vec{\bf J}_{m}^{} \nu_{-}^{} \left[\vphantom{ c_m(z_{m+1}) - c_{eq_{m+1}} }\right. \left.\vphantom{ c_m(z_{m+1}) - c_{eq_{m+1}} }\right]$$ = (A.6)

où

$$\vec{\bf J}_{m}^{} \left[\vphantom{ D \, \vec{\bf\nabla} c_m \, (z_m) + \vec{\bf V}_m \, c_m(z_m) }\right. \vec{\bf\nabla}\, \vec{\bf V}_{m}^{} \left.\vphantom{ D \, \vec{\bf\nabla} c_m \, (z_m) + \vec{\bf V}_m \, c_m(z_m) }\right]$$ (A.7)

prend en compte le flux de matière effectif dû à l'advection.  c_eqm est la concentration d'équilibre au bord de la marche m. Elle prend en compte les interactions élastiques entre marches ainsi que l'énergie de courbure :

$$\left[\vphantom{ 1 + {\cal A} \, \left( \frac{\ell^3}{(z_{m+1}-z_{m})^3} - \frac{\ell^3}{(z_{m}-z_{m-1})^3} \right) + \Gamma \, \kappa_m }\right. \cal {A} \left(\vphantom{ \frac{\ell^3}{(z_{m+1}-z_{m})^3} - \frac{\ell^3}{(z_{m}-z_{m-1})^3} }\right. {\frac{\ell^3}{(z_{m+1}-z_{m})^3}} {\frac{\ell^3}{(z_{m}-z_{m-1})^3}} \left.\vphantom{ \frac{\ell^3}{(z_{m+1}-z_{m})^3} - \frac{\ell^3}{(z_{m}-z_{m-1})^3} }\right) \Gamma \kappa_{m}^{} \left.\vphantom{ 1 + {\cal A} \, \left( \frac{\ell^3}{(z_{m+1}-z_{m})^3} - \frac{\ell^3}{(z_{m}-z_{m-1})^3} \right) + \Gamma \, \kappa_m }\right]$$ (A.8)

où $\kappa_{m}^{}$ est la courbure de la marche m et c_eq⁰ est la concentration en bord de marche pour un train uniforme de marches droites. La conservation de la matière au niveau des marches nous fourni l'équation de continuité suivante :

$$\vec{\bf n}\, \vec{\bf V}_{m}^{} \Omega \vec{\bf n}\, \left[\vphantom{ \vec{\bf J}_{m-1}(z_m) - \vec{\bf J}_m(z_m) }\right. \vec{\bf J}_{m-1}^{} \vec{\bf J}_{m}^{} \left.\vphantom{ \vec{\bf J}_{m-1}(z_m) - \vec{\bf J}_m(z_m) }\right]$$ (A.9)

où nous avons négligé la diffusion de ligne.

Pour une présentation allégée, nous introduisons des variables adimensionnées. Le temps sera maintenant adimensionné par $\ell^{2}_{}$/D (t est remplacé par D t/$\ell^{2}_{}$) et les longueurs seront exprimée en unité de $\ell$, la largeur des terrasses. Les concentrations seront remplacées par le taux de couverture $\Omega$ c et les coefficients cinétiques $\nu_{\pm}^{}$ sont remplacés par $\nu_{\pm}^{}$ l /D = l /d_± où d_± est la longueur Schwoebel. Nous posons aussi, afin de simplifier par la suite les notations, $\Delta$$\nu$ = ($\nu_{+}^{}$ - $\nu_{-}^{}$) et $\nu$ = ($\nu_{+}^{}$ + $\nu_{-}^{}$)/2.

L'analyse de stabilité linéaire est effectuée de façon classique. Nous déterminons tout d'abord le champ de concentration correspondant au train uniforme de marches droites (le train de marches non perturbé). Le champ de concentration s'écrit alors sur la terrasse m (pour z_m < z < z_{m + 1}) :

c_m⁰(z) = A⁰e^{-P(z - z_m)} + B⁰ - (z - z_m)  , (A.10)

où

$${\frac{1}{\Delta^0}} \left[\vphantom{ \frac{}{} (\nu_++\nu_-) (P\, c_{eq}^0-1) - (\nu_+-P)(\nu_-+P) }\right. {\frac{}{}} \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \left.\vphantom{ \frac{}{} (\nu_++\nu_-) (P\, c_{eq}^0-1) - (\nu_+-P)(\nu_-+P) }\right]$$ A⁰ = (A.11)

$${\frac{1}{\Delta^0}} \left[\vphantom{ \frac{}{} \nu_+ \, \nu_- \, c_{eq}^0 \, (1-e^{-P}) + \nu_+ + \nu_- \, e^{-P} + \nu_+ (\nu_- + P) }\right. {\frac{}{}} \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \left.\vphantom{ \frac{}{} \nu_+ \, \nu_- \, c_{eq}^0 \, (1-e^{-P}) + \nu_+ + \nu_- \, e^{-P} + \nu_+ (\nu_- + P) }\right]$$ B⁰ = (A.12)

avec

$$\Delta^{0}_{} \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \nu_{-}^{} \nu_{+}^{}$$ (A.13)

L'analyse de stabilité linéaire du train uniforme de marches est effectuée en perturbant le train de marches par une perturbation infinitésimale $\varepsilon$$\zeta$ telle que la position de la marche m s'écrive dans le repère mobile se déplaçant à vitesse V₀ : z_m(x, t) = m$\ell$ + $\varepsilon$ $\zeta_{m}^{}$(x, t). Le champ de concentration sur les terrasses subit cette perturbation et prend la forme : c_m(x, z, t) = c_m⁰(z) + $\varepsilon$ $\zeta_{m}^{}$(x, t) c_m¹(z). En suivant la même stratégie que celle décrite en annexe , nous arrivons à la relation de dispersion suivante :

$$\omega \phi \phi$$ = (A.14)

avec

$${\frac{1}{\Delta^1}} \left[\vphantom{ \frac{}{} (\nu_-+r_-+P)\alpha \, e^{r_-} -(\nu_+-r_--P) \beta \, e^{i\phi} }\right. {\frac{}{}} \nu_{-}^{} \alpha \nu_{+}^{} \beta \phi \left.\vphantom{ \frac{}{} (\nu_-+r_-+P)\alpha \, e^{r_-} -(\nu_+-r_--P) \beta \, e^{i\phi} }\right]$$ A¹ =

$${\frac{1}{\Delta^1}} \left[\vphantom{ \frac{}{} (\nu_+-r_+-P)\beta \, e^{i\phi} - (\nu_-+r_++P)\alpha \, e^{r_+} }\right. {\frac{}{}} \nu_{+}^{} \beta \phi \nu_{-}^{} \alpha \left.\vphantom{ \frac{}{} (\nu_+-r_+-P)\beta \, e^{i\phi} - (\nu_-+r_++P)\alpha \, e^{r_+} }\right]$$ B¹ =

$$\Delta^{1}_{} \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \nu_{+}^{} \nu_{-}^{}$$ =

$$\alpha \nu_{+}^{} \nu_{+}^{} \omega \cal {A} \nu_{+}^{} \phi \nu_{+}^{} \Gamma$$ =

$$\beta \nu_{-}^{} \nu_{-}^{} \omega \cal {A} \nu_{-}^{} \phi$$ =

$$\nu_{-}^{} \Gamma$$

$${\frac{P}{2}} {\frac{P}{2}} \sqrt{1 + \frac{4 \, \omega}{P^2} + \frac{4 \, q^2}{P^2}}$$ r_± =

La relation de dispersion obtenue se présente sous une formulation implicite de la forme :

$$\nu_{\pm} \left(\vphantom{\omega,\phi,q}\right. \omega \phi \left.\vphantom{\omega,\phi,q}\right)$$ (A.15)

où F est une fonction dépendant des paramètres $\nu_{\pm}^{}$, P et c_eq⁰. Cette formulation implicite est due au fait que l'on a pris en compte les effets non quasi statiques (plus précisément, c'est à cause du terme de dérivée temporelle dans l'équation []).

Cette relation de dispersion est trop compliquée dans le cas général pour être résolue analytiquement. Nous avons donc procédé à une résolution numérique.

Nous fixons tout d'abord les paramètres $\nu_{\pm}^{}$, P et c_eq⁰. On peut ensuite, pour chaque valeur donnée de ($\phi$, q), déterminer, à l'aide d'une méthode de Newton-Raphson (voir annexe ), les valeurs de $\omega$ satisfaisant à l'équation []. En parcourant l'espace de Fourier ($\phi$, q), on détermine ainsi à $\nu_{\pm}^{}$, P et c_eq⁰ fixés, la réponse spectrale du train de marches à la perturbation. Les modes ($\phi$, q) pour lesquels $\Re$e($\omega$) > 0 sont instables. S'il existe un mode ($\phi$, q) dans l'espace de Fourier tel que $\Re$e($\omega$) > 0 alors la perturbation initiale s'amplifie dans le temps et le train de marches est instable. Lorsque le train de marches est instable, la localisation dans l'espace de Fourier du mode le plus instable^A.4 ($\phi_{m}^{}$, q_m), permet de déterminer le type d'instabilité qui se produit. Quatre cas peuvent se produire :

• $\phi_{m}^{}$ = 0, q_m $\neq$ 0 : ce mode correspond à une instabilité de méandre des marches, ces dernières restant en phase.
• $\phi_{m}^{}$ $\neq$ 0, q_m = 0 : ce mode correspond à une instabilité de mise en paquets des marches sans méandre de ces dernières.
• $\phi_{m}^{}$ $\neq$ 0, q_m $\neq$ 0 : ce mode est un mode mixte, mêlant instabilité de méandre et mise en paquets des marches.
• $\phi_{m}^{}$ = 0, q_m = 0 : ce mode correspond au mode de Goldstone d'invariance du système par translation. ce mode est marginalement stable : $\Re$e($\omega$)($\phi$ = 0, q = 0) = 0.

Nous faisons ensuite varier les paramètres physiques $\nu_{\pm}^{}$ et P, et déterminons dans chaque cas la stabilité du train de marches et le type éventuel de l'instabilité se produisant. Les résultats des résolutions numériques sont reportés sur la figure [].

Figure: Résultats de la résolution numérique de la relation de dispersion implicite [].P est le nombre de Péclet et  $\Delta$$\nu$ = $\nu_{+}^{}$ - $\nu_{-}^{}$ mesure l'effet Ehrlich-Schwoebel.

Les résultats importants sont les suivants :

• le train de marches est toujours instable en croissance.
• le train de marches peut souffrir d'une instabilité de mise en paquets des marches lorsque P est suffisamment important ou l'effet Ehrlich-Schwoebel suffisamment faible.
• le mode le plus instable correspond toujours soit à une instabilité de méandre soit à une instabilité de mise en paquets des marches mais jamais à une instabilité mixte.
• l'effet Ehrlich-Schwoebel est responsable de l'instabilité de méandre mais stabilise le train de marches envers l'instabilité de mise en paquets des marches.
• l'advection a un effet opposé à celui de l'effet Ehrlich-Schwoebel : elle stabilise le méandre mais favorise la mise en paquets des marches.
• la mise en paquets des marches se produit même à très faible vitesse de croissance (P $\ll$ 1) lorsque $\Delta$$\nu$ = $\nu_{+}^{}$ - $\nu_{-}^{}$ est suffisamment petit.