Méthodes numériques

Nous détaillons ici quelques unes des méthodes numériques que nous avons utilisées au cours de ce travail de thèse (voir référence [#!numrecipf77!#] pour plus de détails). Nous supposons effectuées les étapes de modélisation et d'analyse mathématique qui ont conduit à la formalisation d'un problème physique particulier en équations mathématiques. Le problème se présente alors sous une forme plus ou moins complexe et souvent l'analyse mathématique ne peut aller plus loin sans de restrictives approximations. C'est là qu'intervient le calcul numérique. Celui-ci ne constitue pas une résolution exacte du problème mais les approximations qu'il implique sont souvent moins restrictives que celles imposées par la poursuite du calcul mathématique. L'approximation majeure induite par la résolution numérique est la discrétisation du problème. En effet, la résolution d'un problème mathématique suppose au préalable la détermination d'un espace fonctionnel auquel appartiennent les solutions du problème ; dans le cas d'un problème continu, ces espaces fonctionnels sont de dimension infinie, ce qui les met hors de portée d'une approche numérique. La première étape d'une telle approche consiste donc à transposer le problème sur un espace fonctionnel de dimension finie, c'est à dire à en rechercher les solutions discrètes. Le choix d'un schéma numérique optimal est donc crucial pour garantir la convergence et la validité des solutions discrètes obtenues. Cette convergence des solutions discrètes vers les solutions continues du problème considéré s'appuie sur deux critères essentiels : d'une part la consistance du schéma numérique choisi et d'autre part sa stabilité ; ce qui peut être résumé empiriquement par :

$$\Rightarrow$$

La consistance est assurée par l'utilisation de méthodes numériques éprouvées s'appuyant elles mêmes sur des bases mathématiques solides. La stabilité numérique dépendra quant à elle du choix des méthodes mises en uvre.

La fonction que l'on cherche est discrétisée et donc n'est évaluée qu'en un nombre fini de points. L'ensemble de ces points constitue un réseaux communément appelé « grille numérique » . De même que pour les variables spatiales, le temps est traité de façon discrète. Dans un problème d'évolution, le traitement des variables temporelles et spatiales s'effectue séparément ; détaillons tout d'abord celui des variables spatiales.