Termes sous-dominants

De même que dans le cas en phase, le développement de l'équation d'évolution de la surface peut être poursuivi à l'ordre supérieur. Pour simplifier les calculs, nous nous sommes placés dans la limite unilatérale : d₊ = 0, d_- $\rightarrow$ + $\infty$. Les contributions d'ordre $\epsilon^{-1/2}_{}$ et $\epsilon^{0}_{}$ (éqs. [] et []) de la dynamique se récrivent :

$$\partial_{T_{3/2}}^{} {\frac{D}{\ell^2}} \Delta$$ (C.112)

et

$$\partial_{T_{3/2}}^{} \partial_{T_2}^{} {\frac{D}{\ell^2}} \Delta \partial_{X}^{} \left[\vphantom{ \frac{ \partial_X {\cal K}_m^{(0)}}{{\cal H}_m^{... ...\ell_m^{(0)}}{\ell^2} \, \frac{\partial_X H_m^{(0)}}{{\cal H}_m^{(0)}} }\right. {\frac{\partial_X {\cal K}_m^{(0)}}{{\cal H}_m^{(0)}}} {\textstyle\frac{1}{2}} {\frac{\ell_m^{(0)}}{\ell^2}} {\frac{\partial_X H_m^{(0)}}{{\cal H}_m^{(0)}}} \left.\vphantom{ \frac{ \partial_X {\cal K}_m^{(0)}}{{\cal H}_m^{... ...\ell_m^{(0)}}{\ell^2} \, \frac{\partial_X H_m^{(0)}}{{\cal H}_m^{(0)}} }\right]$$ + (C.113)

En poursuivant le développement multi-échelle à l'ordre $\epsilon^{3/2}_{}$, nous obtenons la contribution d'ordre $\epsilon^{1/2}_{}$ de l'équation d'évolution du méandre :

$$\partial_{T_{3/2}}^{} \partial_{T_2}^{} {\frac{D}{\ell^2}} \Delta \partial_{X}^{} \left[\vphantom{ \left( \frac{ \partial_X {\cal K}_m}{{\cal H}_m}... ...c{\ell_m}{\ell^2} \, \frac{\partial_X H_m}{{\cal H}_m} \right)^{(1/2)} }\right. \left(\vphantom{ \frac{ \partial_X {\cal K}_m}{{\cal H}_m} - \frac{1}{2} \, \frac{\ell_m}{\ell^2} \, \frac{\partial_X H_m}{{\cal H}_m} }\right. {\frac{\partial_X {\cal K}_m}{{\cal H}_m}} {\textstyle\frac{1}{2}} {\frac{\ell_m}{\ell^2}} {\frac{\partial_X H_m}{{\cal H}_m}} \left.\vphantom{ \frac{ \partial_X {\cal K}_m}{{\cal H}_m} - \fra... ... \frac{\ell_m}{\ell^2} \, \frac{\partial_X H_m}{{\cal H}_m} }\right)^{(1/2)}_{}$$ +

$${\frac{\partial_X H_m^{(0)} \, \partial_{XX} H_m^{(0)}}{({\cal H}_m^{(0)})^2}} {\frac{\ell_m^{(0)}}{6 \, \ell^2}} \left(\vphantom{ 1 + \frac{2}{1 + (\partial_X H_m^{(0)})^2} }\right. {\frac{2}{1 + (\partial_X H_m^{(0)})^2}} \left.\vphantom{ 1 + \frac{2}{1 + (\partial_X H_m^{(0)})^2} }\right) {\frac{\partial_{XX} H_m^{(0)} \, \partial_X {\cal K}_m^{(0)}}{2 \, ({\cal H}_m^{(0)})^2}}$$ -

$$\left.\vphantom{ \rho_m^{(0)} \, \frac{\partial_X H_m^{(0)} \, \p... ...{(0)} \, \partial_X \Delta H_m^{(0)}}{2 \, \ell^2 \, {\cal H}_m^{(0)}} }\right. \rho_{m}^{(0)} {\frac{\partial_X H_m^{(0)} \, \partial_X \Delta H_m^{(0)} \, \partial_X {\cal K}_m^{(0)}}{({\cal H}_m^{(0)})^2}} {\frac{\ell_m^{(0)} \, \partial_X \Delta H_m^{(0)}}{2 \, \ell^2 \, {\cal H}_m^{(0)}}} \left.\vphantom{ \rho_m^{(0)} \, \frac{\partial_X H_m^{(0)} \, \p... ...{(0)} \, \partial_X \Delta H_m^{(0)}}{2 \, \ell^2 \, {\cal H}_m^{(0)}} }\right]$$ - (C.114)

où ( ^... )^(1/2) représente la contribution d'ordre 1/2 de l'expression entre parenthèses. Rappelons ici que T_3/2 est l'échelle de temps rapide associée à la propagation de l'instabilité et T₂ est l'échelle de temps lente, caractéristique du développement de l'instabilité.

Les différentes échelles spatiales et temporelles ne se couplant pas, on peut, en posant $\tilde{H}_{m}$ = H_m⁽⁰⁾ + $\epsilon^{1/2}_{}$H_m^(1/2) + $\epsilon$H_m⁽¹⁾ et $\tilde{T}$ = $\epsilon^{-1/2}_{}$T_3/2 + T₂, regrouper les contributions de la dynamique aux différents ordres en une unique équation :

$$\partial_{\tilde T}^{} \tilde{H} \epsilon^{-1/2}_{} \partial_{T_{3/2}}^{} \partial_{T_{3/2}}^{} \epsilon^{1/2}_{} \partial_{T_{3/2}}^{} \partial_{T_2}^{} \epsilon^{1/2}_{} \partial_{T_2}^{} \epsilon$$ (C.115)

En revenant aux variables physiques, on obtient finalement :

$$\partial_{t}^{} \zeta_{m}^{} \partial_{x}^{} \Omega \delta \zeta_{m}^{}$$ (C.116)

avec

$${\frac{\Omega \, F}{2}} \left(\vphantom{\frac{\ell_m}{s_m}}\right. {\frac{\ell_m}{s_m}} \left.\vphantom{\frac{\ell_m}{s_m}}\right)^{2}_{} \partial_{x}^{} \zeta_{m}^{} \left[\vphantom{ 1 - \frac{\ell_m}{3} \, \kappa_m \left( s_m + _f... ...}{s_m} \right) - \frac{\partial_x \zeta_m \, \partial_x \ell_m}{s_m^2} }\right. {\frac{\ell_m}{3}} \kappa_{m}^{} \left(\vphantom{ s_m + _frac{2}{s_m} }\right. \left.\vphantom{ s_m + _frac{2}{s_m} }\right) {\frac{\partial_x \zeta_m \, \partial_x \ell_m}{s_m^2}} \left.\vphantom{ 1 - \frac{\ell_m}{3} \, \kappa_m \left( s_m + _f... ...}{s_m} \right) - \frac{\partial_x \zeta_m \, \partial_x \ell_m}{s_m^2} }\right]$$ J_m =

$${\frac{\ell_m}{s_m^2}} \partial_{x}^{} \left(\vphantom{ \Gamma \kappa_m }\right. \Gamma \kappa_{m}^{} \left.\vphantom{ \Gamma \kappa_m }\right) \left[\vphantom{ 1 - \frac{\ell_m \, s_m}{2} \, \kappa_m - \frac{\partial_x \zeta_m \, \partial_x \ell_m}{s_m^2} }\right. {\frac{\ell_m \, s_m}{2}} \kappa_{m}^{} {\frac{\partial_x \zeta_m \, \partial_x \ell_m}{s_m^2}} \left.\vphantom{ 1 - \frac{\ell_m \, s_m}{2} \, \kappa_m - \frac{\partial_x \zeta_m \, \partial_x \ell_m}{s_m^2} }\right]$$ -

$${\frac{\Omega \, F}{2}} \left(\vphantom{\frac{\ell_m}{s_m}}\right. {\frac{\ell_m}{s_m}} \left.\vphantom{\frac{\ell_m}{s_m}}\right)^{2}_{} \partial_{x}^{} \ell_{m}^{}$$ - (C.117)

où $\kappa_{m}^{}$ est la courbure du méandre $\zeta_{m}^{}$, et s_m = (1 + ($\partial_{x}^{}$$\zeta_{m}^{}$)²)^1/2.

En prennant formellement $\ell_{m}^{}$ = $\ell$ et $\delta$ = 0, on retrouve le cas en phase décrit par l'équation [].

Comme précédemment, le calcul analytique peut être poursuivi afin d'obtenir à partir de l'équation dynamique du méandre [], l'équation continue décrivant la dynamique de la surface.

L'équation [] nous a donné l'ordre dominant ; la poursuite des calculs à l'ordre sous-dominant conduit à l'équation suivante :

$$\partial_{t}^{} \tilde{h} \vec{\nabla}\, \left[\vphantom{ \frac{\Omega F}{2} \frac{\vec{n}}{\Vert \nabla {... ...\tilde h}}{(\partial_z {\tilde h})^3} \, \partial_z {\tilde h} \right) }\right. {\frac{\Omega F}{2}} {\frac{\vec{n}}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert}} \left(\vphantom{ 1 - \frac{1}{3} \, \frac{\partial_{zz} {\tilde h}}{(\partial_z {\tilde h})^3} \, \partial_z {\tilde h} }\right. {\textstyle\frac{1}{3}} {\frac{\partial_{zz} {\tilde h}}{(\partial_z {\tilde h})^3}} \partial_{z}^{} \tilde{h} \left.\vphantom{ 1 - \frac{1}{3} \, \frac{\partial_{zz} {\tilde h}}{(\partial_z {\tilde h})^3} \, \partial_z {\tilde h} }\right)$$ =

$${\frac{\Omega \, F}{6}} \left(\vphantom{ \frac{3 \, \partial_{xz} {\tilde h}}{(\partial_z... ...ac{2 \, \partial_z {\tilde h}}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert } \right) }\right. {\frac{3 \, \partial_{xz} {\tilde h}}{(\partial_z {\tilde h})^2}} {\frac{\partial_{zz} {\tilde h} \, \partial_x {\tilde h}}{(\partial_z {\tilde h})^3}} {\frac{\partial_x {\tilde h}}{(\partial_z {\tilde h})^2}} \cal {K} \left(\vphantom{ \frac{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert}{\partial_z ... ...}} + \frac{2 \, \partial_z {\tilde h}}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert } }\right. {\frac{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert}{\partial_z {\tilde h}}} {\frac{2 \, \partial_z {\tilde h}}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert }} \left.\vphantom{ \frac{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert}{\partial_z ... ...}} + \frac{2 \, \partial_z {\tilde h}}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert } }\right) \left.\vphantom{ \frac{3 \, \partial_{xz} {\tilde h}}{(\partial_z... ...ac{2 \, \partial_z {\tilde h}}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert } \right) }\right)$$ +

$$\left.\vphantom{ \, D \, \left(1 + \frac{\Delta {\tilde h}}{2 \, ... ..., \left( \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} \right) \vec{s} \; }\right. \left(\vphantom{1 + \frac{\Delta {\tilde h}}{2 \, \Vert \nabla {\tilde h} \Vert^2 } }\right. {\frac{\Delta {\tilde h}}{2 \, \Vert \nabla {\tilde h} \Vert^2 }} \left.\vphantom{1 + \frac{\Delta {\tilde h}}{2 \, \Vert \nabla {\tilde h} \Vert^2 } }\right) \left(\vphantom{ \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} }\right. \vec{s}\, \vec{\nabla}\, \bar{\cal K} \left.\vphantom{ \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} }\right) \vec{s}\, \left.\vphantom{ \, D \, \left(1 + \frac{\Delta {\tilde h}}{2 \, ... ..., \left( \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} \right) \vec{s} \; }\right]$$ + (C.118)