De même que dans le cas en phase, le développement de l'équation d'évolution de la surface peut être poursuivi à l'ordre supérieur.
Pour simplifier les calculs, nous nous sommes placés dans la limite unilatérale :
d+ = 0, d- +
. Les contributions d'ordre
et
(éqs. [
] et [
]) de la dynamique se récrivent :
En poursuivant le développement multi-échelle à l'ordre
, nous obtenons la contribution d'ordre
de l'équation d'évolution du méandre :
Les différentes échelles spatiales et temporelles ne se couplant pas,
on peut, en posant
= Hm(0) +
Hm(1/2) +
Hm(1)
et
=
T3/2 + T2,
regrouper les contributions de la dynamique aux différents ordres en une unique équation :
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(C.115) |
En revenant aux variables physiques, on obtient finalement :
avecJm | = | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
- | D ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
||
- | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(C.117) |
En prennant formellement
=
et
= 0, on retrouve le cas en phase décrit par l'équation [
].
Comme précédemment, le calcul analytique peut être poursuivi afin d'obtenir à partir de l'équation dynamique du méandre [], l'équation continue décrivant la dynamique de la surface.
L'équation [] nous a donné l'ordre dominant ; la poursuite des calculs à l'ordre sous-dominant conduit à l'équation suivante :
![]() ![]() |
= | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
+ | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
||
+ | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
||
(C.118) |