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Termes sous-dominants

De même que dans le cas en phase, le développement de l'équation d'évolution de la surface peut être poursuivi à l'ordre supérieur. Pour simplifier les calculs, nous nous sommes placés dans la limite unilatérale : d+ = 0, d- $ \rightarrow$ + $ \infty$. Les contributions d'ordre $ \epsilon^{-1/2}_{}$ et $ \epsilon^{0}_{}$ (éqs. [[*]] et [[*]]) de la dynamique se récrivent :

$\displaystyle \partial_{T_{3/2}}^{}$Hm(0) = $\displaystyle {\frac{D}{\ell^2}}$$\displaystyle \Delta$Hm(0)  , (C.112)

et
$\displaystyle \partial_{T_{3/2}}^{}$Hm(1/2) + $\displaystyle \partial_{T_2}^{}$Hm(0)   =  $\displaystyle {\frac{D}{\ell^2}}$$\displaystyle \Delta$Hm(1/2) + D $\displaystyle \partial_{X}^{}$$\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{ \partial_X {\cal K}_m^{(0)}}{{\cal H}_m^{...
...\ell_m^{(0)}}{\ell^2} \, \frac{\partial_X H_m^{(0)}}{{\cal H}_m^{(0)}} }\right.$$\displaystyle {\frac{\partial_X {\cal K}_m^{(0)}}{{\cal H}_m^{(0)}}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle {\frac{\ell_m^{(0)}}{\ell^2}}$ $\displaystyle {\frac{\partial_X H_m^{(0)}}{{\cal H}_m^{(0)}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{ \partial_X {\cal K}_m^{(0)}}{{\cal H}_m^{...
...\ell_m^{(0)}}{\ell^2} \, \frac{\partial_X H_m^{(0)}}{{\cal H}_m^{(0)}} }\right]$  .  
      (C.113)

En poursuivant le développement multi-échelle à l'ordre $ \epsilon^{3/2}_{}$, nous obtenons la contribution d'ordre $ \epsilon^{1/2}_{}$ de l'équation d'évolution du méandre :

$\displaystyle \partial_{T_{3/2}}^{}$Hm(1) + $\displaystyle \partial_{T_2}^{}$Hm(1/2)   =  $\displaystyle {\frac{D}{\ell^2}}$$\displaystyle \Delta$Hm(1) + D $\displaystyle \partial_{X}^{}$$\displaystyle \left[\vphantom{ \left( \frac{ \partial_X {\cal K}_m}{{\cal H}_m}...
...c{\ell_m}{\ell^2} \, \frac{\partial_X H_m}{{\cal H}_m} \right)^{(1/2)} }\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{ \partial_X {\cal K}_m}{{\cal H}_m} - \frac{1}{2} \, \frac{\ell_m}{\ell^2} \, \frac{\partial_X H_m}{{\cal H}_m} }\right.$$\displaystyle {\frac{\partial_X {\cal K}_m}{{\cal H}_m}}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle {\frac{\ell_m}{\ell^2}}$ $\displaystyle {\frac{\partial_X H_m}{{\cal H}_m}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{ \partial_X {\cal K}_m}{{\cal H}_m} - \fra...
... \frac{\ell_m}{\ell^2} \, \frac{\partial_X H_m}{{\cal H}_m} }\right)^{(1/2)}_{}$  
  - $\displaystyle {\frac{\partial_X H_m^{(0)} \, \partial_{XX} H_m^{(0)}}{({\cal H}_m^{(0)})^2}}$ $\displaystyle {\frac{\ell_m^{(0)}}{6 \, \ell^2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ 1 + \frac{2}{1 + (\partial_X H_m^{(0)})^2} }\right.$1 + $\displaystyle {\frac{2}{1 + (\partial_X H_m^{(0)})^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1 + \frac{2}{1 + (\partial_X H_m^{(0)})^2} }\right)$ + $\displaystyle {\frac{\partial_{XX} H_m^{(0)} \, \partial_X {\cal K}_m^{(0)}}{2 \, ({\cal H}_m^{(0)})^2}}$  
  - $\displaystyle \left.\vphantom{ \rho_m^{(0)} \, \frac{\partial_X H_m^{(0)} \, \p...
...{(0)} \, \partial_X \Delta H_m^{(0)}}{2 \, \ell^2 \, {\cal H}_m^{(0)}} }\right.$$\displaystyle \rho_{m}^{(0)}$ $\displaystyle {\frac{\partial_X H_m^{(0)} \, \partial_X \Delta H_m^{(0)} \, \partial_X {\cal K}_m^{(0)}}{({\cal H}_m^{(0)})^2}}$ + $\displaystyle {\frac{\ell_m^{(0)} \, \partial_X \Delta H_m^{(0)}}{2 \, \ell^2 \, {\cal H}_m^{(0)}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \rho_m^{(0)} \, \frac{\partial_X H_m^{(0)} \, \p...
...{(0)} \, \partial_X \Delta H_m^{(0)}}{2 \, \ell^2 \, {\cal H}_m^{(0)}} }\right]$  ,  
      (C.114)

( ... )(1/2) représente la contribution d'ordre 1/2 de l'expression entre parenthèses. Rappelons ici que T3/2 est l'échelle de temps rapide associée à la propagation de l'instabilité et T2 est l'échelle de temps lente, caractéristique du développement de l'instabilité.

Les différentes échelles spatiales et temporelles ne se couplant pas, on peut, en posant $ \tilde{H}_{m}$ = Hm(0) + $ \epsilon^{1/2}_{}$Hm(1/2) + $ \epsilon$Hm(1) et $ \tilde{T}$ = $ \epsilon^{-1/2}_{}$T3/2 + T2, regrouper les contributions de la dynamique aux différents ordres en une unique équation :

$\displaystyle \partial_{\tilde T}^{}$$\displaystyle \tilde{H}$ = $\displaystyle \epsilon^{-1/2}_{}$$\displaystyle \partial_{T_{3/2}}^{}$Hm(0) + $\displaystyle \partial_{T_{3/2}}^{}$Hm(1/2) + $\displaystyle \epsilon^{1/2}_{}$$\displaystyle \partial_{T_{3/2}}^{}$Hm(1) + $\displaystyle \partial_{T_2}^{}$Hm(0) + $\displaystyle \epsilon^{1/2}_{}$$\displaystyle \partial_{T_2}^{}$Hm(1/2) + O($\displaystyle \epsilon$)  . (C.115)


En revenant aux variables physiques, on obtient finalement :

$\displaystyle \partial_{t}^{}$$\displaystyle \zeta_{m}^{}$ = - $\displaystyle \partial_{x}^{}$Jm + $\displaystyle \Omega$F $\displaystyle \delta$$\displaystyle \zeta_{m}^{}$  , (C.116)

avec
Jm = $\displaystyle {\frac{\Omega \, F}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\ell_m}{s_m}}\right.$$\displaystyle {\frac{\ell_m}{s_m}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\ell_m}{s_m}}\right)^{2}_{}$ $\displaystyle \partial_{x}^{}$$\displaystyle \zeta_{m}^{}$ $\displaystyle \left[\vphantom{ 1 - \frac{\ell_m}{3} \, \kappa_m \left( s_m + _f...
...}{s_m} \right) - \frac{\partial_x \zeta_m \, \partial_x \ell_m}{s_m^2} }\right.$1 - $\displaystyle {\frac{\ell_m}{3}}$ $\displaystyle \kappa_{m}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ s_m + _frac{2}{s_m} }\right.$sm + frac2sm$\displaystyle \left.\vphantom{ s_m + _frac{2}{s_m} }\right)$ - $\displaystyle {\frac{\partial_x \zeta_m \, \partial_x \ell_m}{s_m^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1 - \frac{\ell_m}{3} \, \kappa_m \left( s_m + _f...
...}{s_m} \right) - \frac{\partial_x \zeta_m \, \partial_x \ell_m}{s_m^2} }\right]$  
  - D $\displaystyle {\frac{\ell_m}{s_m^2}}$ $\displaystyle \partial_{x}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ \Gamma \kappa_m }\right.$$\displaystyle \Gamma$$\displaystyle \kappa_{m}^{}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \Gamma \kappa_m }\right)$ $\displaystyle \left[\vphantom{ 1 - \frac{\ell_m \, s_m}{2} \, \kappa_m - \frac{\partial_x \zeta_m \, \partial_x \ell_m}{s_m^2} }\right.$1 - $\displaystyle {\frac{\ell_m \, s_m}{2}}$ $\displaystyle \kappa_{m}^{}$ - $\displaystyle {\frac{\partial_x \zeta_m \, \partial_x \ell_m}{s_m^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1 - \frac{\ell_m \, s_m}{2} \, \kappa_m - \frac{\partial_x \zeta_m \, \partial_x \ell_m}{s_m^2} }\right]$  
  - $\displaystyle {\frac{\Omega \, F}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\ell_m}{s_m}}\right.$$\displaystyle {\frac{\ell_m}{s_m}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\ell_m}{s_m}}\right)^{2}_{}$ $\displaystyle \partial_{x}^{}$$\displaystyle \ell_{m}^{}$  , (C.117)

$ \kappa_{m}^{}$ est la courbure du méandre $ \zeta_{m}^{}$, et sm = (1 + ($ \partial_{x}^{}$$ \zeta_{m}^{}$)2)1/2.

En prennant formellement $ \ell_{m}^{}$ = $ \ell$ et $ \delta$ = 0, on retrouve le cas en phase décrit par l'équation [[*]].

Comme précédemment, le calcul analytique peut être poursuivi afin d'obtenir à partir de l'équation dynamique du méandre [[*]], l'équation continue décrivant la dynamique de la surface.

L'équation [[*]] nous a donné l'ordre dominant ; la poursuite des calculs à l'ordre sous-dominant conduit à l'équation suivante :

$\displaystyle \partial_{t}^{}$$\displaystyle \tilde{h}$ = $\displaystyle \vec{\nabla}\,$$\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{\Omega F}{2} \frac{\vec{n}}{\Vert \nabla {...
...\tilde h}}{(\partial_z {\tilde h})^3} \, \partial_z {\tilde h} \right)
}\right.$$\displaystyle {\frac{\Omega F}{2}}$$\displaystyle {\frac{\vec{n}}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert}}$$\displaystyle \left(\vphantom{ 1 - \frac{1}{3} \, \frac{\partial_{zz} {\tilde h}}{(\partial_z {\tilde h})^3} \, \partial_z {\tilde h} }\right.$1 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle {\frac{\partial_{zz} {\tilde h}}{(\partial_z {\tilde h})^3}}$ $\displaystyle \partial_{z}^{}$$\displaystyle \tilde{h}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1 - \frac{1}{3} \, \frac{\partial_{zz} {\tilde h}}{(\partial_z {\tilde h})^3} \, \partial_z {\tilde h} }\right)$  
  + $\displaystyle {\frac{\Omega \, F}{6}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{3 \, \partial_{xz} {\tilde h}}{(\partial_z...
...ac{2 \, \partial_z {\tilde h}}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert } \right) }\right.$$\displaystyle {\frac{3 \, \partial_{xz} {\tilde h}}{(\partial_z {\tilde h})^2}}$ - $\displaystyle {\frac{\partial_{zz} {\tilde h} \, \partial_x {\tilde h}}{(\partial_z {\tilde h})^3}}$ - $\displaystyle {\frac{\partial_x {\tilde h}}{(\partial_z {\tilde h})^2}}$ $\displaystyle \cal {K}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert}{\partial_z ...
...}} + \frac{2 \, \partial_z {\tilde h}}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert } }\right.$$\displaystyle {\frac{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert}{\partial_z {\tilde h}}}$ + $\displaystyle {\frac{2 \, \partial_z {\tilde h}}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert }}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert}{\partial_z ...
...}} + \frac{2 \, \partial_z {\tilde h}}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert } }\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{3 \, \partial_{xz} {\tilde h}}{(\partial_z...
...ac{2 \, \partial_z {\tilde h}}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert } \right) }\right)$  
  + $\displaystyle \left.\vphantom{ \, D \, \left(1 + \frac{\Delta {\tilde h}}{2 \, ...
..., \left( \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} \right) \vec{s} \; }\right.$ D $\displaystyle \left(\vphantom{1 + \frac{\Delta {\tilde h}}{2 \, \Vert \nabla {\tilde h} \Vert^2 } }\right.$1 + $\displaystyle {\frac{\Delta {\tilde h}}{2 \, \Vert \nabla {\tilde h} \Vert^2 }}$$\displaystyle \left.\vphantom{1 + \frac{\Delta {\tilde h}}{2 \, \Vert \nabla {\tilde h} \Vert^2 } }\right)$ $\displaystyle \left(\vphantom{ \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} }\right.$$\displaystyle \vec{s}\,$ . $\displaystyle \vec{\nabla}\,$$\displaystyle \bar{\cal K}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} }\right)$$\displaystyle \vec{s}\,$  $\displaystyle \left.\vphantom{ \, D \, \left(1 + \frac{\Delta {\tilde h}}{2 \, ...
..., \left( \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} \right) \vec{s} \; }\right]$  .  
      (C.118)


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fred 2001-07-02