Termes dominants

Dans ce qui suit, on a pris $\beta$ = 0 ; c'est-à-dire que l'on n'a pas pris en compte l'effet de diffusion de ligne. À partir de l'analyse de stabilité linéaire du train de marches, on obtient la relation de dispersion linéaire suivante, développée pour de faibles déphasages $\phi$ et de grandes longueurs d'onde q$\ell$ $\ll$ 1 :

$$\Re \omega {\frac{\ell^2}{D}} {\frac{\Omega F \ell^2}{2 D}} \left(\vphantom{\frac{d_--d_+}{\ell+d_-+d_+} }\right. {\frac{d_--d_+}{\ell+d_-+d_+}} \left.\vphantom{\frac{d_--d_+}{\ell+d_-+d_+} }\right) \left(\vphantom{ (q\ell)^2 - \frac{d_++d_-}{\ell + d_++d_-} \, \phi^2 }\right. \ell {\frac{d_++d_-}{\ell+d_++d_-}} \phi^{2}_{} \left.\vphantom{ (q\ell)^2 - \frac{d_++d_-}{\ell + d_++d_-} \, \phi^2 }\right) {\frac{\Omega \, c_{eq_0} \, \Gamma}{\ell}} \ell$$ = (C.44)

$$\Im \omega {\frac{\ell^2}{D}} {\frac{\Omega F \ell^2}{D}} \phi$$ = (C.45)

Le méandre est stable vis-à-vis de faibles perturbations lorsque $\Re$e($\omega$) < 0 et instable lorsque la partie réelle du taux de croissance $\omega$ est positive.

Afin d'exprimer la dynamique du train de marches proche du seuil de l'instabilité, nous avons besoin d'identifier un petit paramètre qui mesure l'écart à ce seuil. Dans ce qui suit, nous considérerons le cas couramment rencontré expérimentalement où il existe un effet Ehrlich-Schwoebel (i.e. d_- > d₊). Sous cette condition, la surface vicinale est instable vis-à-vis de l'instabilité de méandre dès que la croissance a lieu : le seuil de l'instabilité doit être proportionnel au flux de matière incident F. Posons alors

$$\epsilon \Omega \ell^{2}_{}$$ (C.46)

En conditions expérimentales habituelles, ce paramètre est petit.

Le mode le plus instable (i.e. le mode dont le taux de croissance est le plus important) est obtenu pour :

$$\phi$$

et

$$\left(\vphantom{ \frac{\epsilon}{4 \, \Omega \, c_{eq_0} \, \Gamma \, \ell} }\right. {\frac{\epsilon}{4 \, \Omega \, c_{eq_0} \, \Gamma \, \ell}} \left.\vphantom{ \frac{\epsilon}{4 \, \Omega \, c_{eq_0} \, \Gamma \, \ell} }\right)^{1/2}_{} \left(\vphantom{\frac{d_--d_+}{\ell+d_-+d_+} }\right. {\frac{d_--d_+}{\ell+d_-+d_+}} \left.\vphantom{\frac{d_--d_+}{\ell+d_-+d_+} }\right)$$

et son taux de croissance s'écrit :

$$\Re \omega \epsilon^{2}_{} {\frac{D}{16 \, \Omega \, c_{eq_0} \, \Gamma \, \ell}} \left(\vphantom{\frac{d_--d_+}{\ell+d_-+d_+} }\right. {\frac{d_--d_+}{\ell+d_-+d_+}} \left.\vphantom{ \frac{d_--d_+}{\ell+d_-+d_+} }\right)^{2}_{}$$

Un examen attentif de l'équation [] nous montre que les modes instables sont ceux pour lesquels q $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$ et $\phi$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$ (voir figure []).

Figure: Taux de croissance de la perturbation en fonction de q et $\phi$. Les modes instables sont ceux pour lesquels $\Re$e($\omega$) > 0 et sont représentés en blanc sur la figure.

Cela nous donne les échelles spatiales naturelles sur lesquelles se développe le méandre. Nous avons :

$$\sim \epsilon^{-1/2}_{} \sim \epsilon^{-1/2}_{}$$ , (C.47)

m étant le nombre caractéristique de marches sur lequel la modulation de phase peut être détectée. C'est-à-dire que le déphasage entre marches adjacentes est extrêmement faible et est d'ordre 1 entre la marche n et la marche n + m. Les échelles de temps caractéristiques de l'instabilité sont données par le taux de croissance $\omega$. La dynamique du méandre avec liberté de phase fait intervenir deux échelles de temps distinctes. La plus rapide est celle associée à la partie imaginaire de $\omega$ et est reliée aux effets propagatifs (on a $\Im$m($\omega$) $\sim$ $\epsilon^{3/2}_{}$ et l'échelle de temps associée $\tau_{i}^{}$ $\sim$ $\epsilon^{-3/2}_{}$). L'échelle de temps lente $\tau_{r}^{}$ est celle reliée au développement de l'instabilité et est donnée par la partie réelle de $\omega$ : $\tau_{r}^{}$ $\sim$ $\epsilon^{-2}_{}$.

Afin de décrire la dynamique non linéaire de l'instabilité, nous avons besoin de connaître le comportement d'échelle de l'amplitude du méandre pour lequel les non-linéarités deviennent pertinentes. Au chapitre , il a été montré que $\zeta$ $\sim$ $\epsilon^{-1/2}_{}$.

Nous pouvons maintenant effectuer un développement multi-échelle des équations constitutives du modèle.

Pour simplifier les calculs, nous travaillerons avec le champ concentration réduit u_m = $\Omega$(c_m - c_eq). Comme cela est montré au chapitre , u_m est proportionnel à la racine carrée de $\epsilon$.

Afin de rendre explicite la dépendance en $\epsilon$, on pose :

$$\epsilon^{-1/2}_{} \epsilon^{-3/2}_{} \epsilon^{-2}_{} \epsilon^{1/2}_{} \zeta_{m}^{} \epsilon^{1/2}_{}$$ (C.48)

$\delta$f_m = f_{m + 1} - f_m est de l'ordre du déphasage $\phi$. Comme $\phi$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$, on introduit l'opérateur de différence finie renormalisé $\Delta$, défini par $\delta$f_m = $\epsilon^{1/2}_{}$$\Delta$f_m.

Dans le but d'extraire les échelles en $\epsilon$ des conditions limites, on effectue le changement de variable suivant : $\cal {Z}$ = (z - z_m(x, t))/(z_{m + 1}(x, t) - z_m(x, t)). Alors, la loi de conservation de la matière sur les terrasses s'écrit :

$$\rho_{m}^{} \cal {H} \partial_{{\cal ZZ}}^{} \epsilon^{1/2}_{} \partial_{X}^{} \rho_{m}^{} \partial_{x}^{} \partial_{{\cal Z}}^{}$$ 0 =

$$\epsilon^{1/2}_{} \rho_{m}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X{\cal Z}}^{} \epsilon^{1/2}_{} \rho_{m}^{} \partial_{xx}^{} \partial_{{\cal Z}}^{}$$

$$\epsilon^{1/2}_{} \cal {Z} \partial_{X}^{} \rho_{m}^{} \partial_{X}^{} \partial_{{\cal ZZ}}^{} \partial_{XX}^{} \epsilon \cal {Z} \rho_{m}^{} \partial_{X}^{} \Delta \partial_{X{\cal Z}}^{}$$

$$\epsilon \cal {Z} \rho_{m}^{} \partial_{XX}^{} \Delta \partial_{{\cal Z}}^{} \epsilon \cal {Z} \partial_{X}^{} \rho_{m}^{} \partial_{X}^{} \Delta \partial_{{\cal Z}}^{}$$

$$\epsilon \cal {Z} \partial_{X}^{} \rho_{m}^{} \partial_{X}^{} \Delta \partial_{{\cal ZZ}}^{} \epsilon^{1/2}_{} \ell^{2}_{}$$ (C.49)

Les équations cinétiques prennent la forme suivante :

$$\cal {H} \partial_{{\cal Z}}^{} \epsilon^{1/2}_{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} {\frac{{\cal S}_m}{d_+}} \left[\vphantom{ \frac{}{} U_m(0) - {\cal K}_m }\right. {\frac{}{}} \cal {K} \left.\vphantom{ \frac{}{} U_m(0) - {\cal K}_m }\right]$$ - (C.50)

$$\cal {I} \partial_{{\cal Z}}^{} \epsilon^{1/2}_{} \left(\vphantom{ \partial_X H_m + \epsilon^{1/2} \partial_X \Delta H_m }\right. \partial_{X}^{} \epsilon^{1/2}_{} \partial_{X}^{} \Delta \left.\vphantom{ \partial_X H_m + \epsilon^{1/2} \partial_X \Delta H_m }\right) \partial_{X}^{}$$ -

$$\left(\vphantom{ \frac{{\cal S}_m + \epsilon \Delta {\cal S}_m}{d_-}}\right. {\frac{{\cal S}_m + \epsilon \Delta {\cal S}_m}{d_-}} \left.\vphantom{ \frac{{\cal S}_m + \epsilon \Delta {\cal S}_m}{d_-}}\right) \left[\vphantom{ \frac{}{} U_m(1) - {\cal K}_m - \epsilon^{1/2} \Delta {\cal K}_m }\right. {\frac{}{}} \cal {K} \epsilon^{1/2}_{} \Delta \cal {K} \left.\vphantom{ \frac{}{} U_m(1) - {\cal K}_m - \epsilon^{1/2} \Delta {\cal K}_m }\right]$$ (C.51)

Et l'équation de conservation de la matière aux marches conduit à :

$${\frac{\epsilon^{1/2}}{\ell}} {\frac{\epsilon^{1/2}}{D}} \partial_{T_{3/2}}^{} {\frac{\epsilon}{D}} \partial_{T_2}^{} \left[\vphantom{ {\cal H}_m \; \partial_{{\cal Z}} U_m(0) - \, \epsilon^{1/2} \; \partial_X H_m \partial_X U_m(0) }\right. \cal {H} \partial_{{\cal Z}}^{} \epsilon^{1/2}_{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \left.\vphantom{ {\cal H}_m \; \partial_{{\cal Z}} U_m(0) - \, \epsilon^{1/2} \; \partial_X H_m \partial_X U_m(0) }\right]$$ +

$$\left[\vphantom{ {\cal I}_m \; \partial_{{\cal Z}} U_m(1) - \epsi... ... H_m + \epsilon^{1/2} \partial_X \Delta H_m \right) \partial_X U_m (1) }\right. \cal {I} \partial_{{\cal Z}}^{} \epsilon^{1/2}_{} \left(\vphantom{ \partial_X H_m + \epsilon^{1/2} \partial_X \Delta H_m }\right. \partial_{X}^{} \epsilon^{1/2}_{} \partial_{X}^{} \Delta \left.\vphantom{ \partial_X H_m + \epsilon^{1/2} \partial_X \Delta H_m }\right) \partial_{X}^{} \left.\vphantom{ {\cal I}_m \; \partial_{{\cal Z}} U_m(1) - \epsi... ... H_m + \epsilon^{1/2} \partial_X \Delta H_m \right) \partial_X U_m (1) }\right]$$

$$\epsilon^{1/2}_{} \Delta \left[\vphantom{ {\cal I}_m \; \partial_{{\cal Z}} U_m(1) - \epsi... ... H_m + \epsilon^{1/2} \partial_X \Delta H_m \right) \partial_X U_m (1) }\right. \cal {I} \partial_{{\cal Z}}^{} \epsilon^{1/2}_{} \left(\vphantom{ \partial_X H_m + \epsilon^{1/2} \partial_X \Delta H_m }\right. \partial_{X}^{} \epsilon^{1/2}_{} \partial_{X}^{} \Delta \left.\vphantom{ \partial_X H_m + \epsilon^{1/2} \partial_X \Delta H_m }\right) \partial_{X}^{} \left.\vphantom{ {\cal I}_m \; \partial_{{\cal Z}} U_m(1) - \epsi... ... H_m + \epsilon^{1/2} \partial_X \Delta H_m \right) \partial_X U_m (1) }\right]$$

$$\epsilon \Delta^{2}_{} \left[\vphantom{ {\cal I}_m \; \partial_{{\cal Z}} U_m(1) - \epsi... ... H_m + \epsilon^{1/2} \partial_X \Delta H_m \right) \partial_X U_m (1) }\right. \cal {I} \partial_{{\cal Z}}^{} \epsilon^{1/2}_{} \left(\vphantom{ \partial_X H_m + \epsilon^{1/2} \partial_X \Delta H_m }\right. \partial_{X}^{} \epsilon^{1/2}_{} \partial_{X}^{} \Delta \left.\vphantom{ \partial_X H_m + \epsilon^{1/2} \partial_X \Delta H_m }\right) \partial_{X}^{} \left.\vphantom{ {\cal I}_m \; \partial_{{\cal Z}} U_m(1) - \epsi... ... H_m + \epsilon^{1/2} \partial_X \Delta H_m \right) \partial_X U_m (1) }\right]$$

+ ^... (C.52)

où, pour simplifier, nous avons posé :

$$\Delta \epsilon^{-1/2}_{} \zeta_{m+1}^{} \zeta_{m}^{}$$ = (C.53)

$$\ell_{m}^{} \ell \Delta$$ = (C.54)

$$\rho_{m}^{} {\frac{1}{\ell_m}}$$ = (C.55)

$$\cal {H} \rho_{m}^{} \partial_{X}^{}$$ = (C.56)

$$\cal {I} \rho_{m}^{} \partial_{X}^{}$$ =

$$\cal {H} \epsilon^{1/2}_{} \rho_{m}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \Delta \epsilon \rho_{m}^{} \partial_{X}^{} \Delta$$ = (C.57)

$$\cal {S} \partial_{X}^{}$$ = (C.58)

$$\cal {K} \Omega \Gamma {\frac{\partial_{XX} H_m}{(1 + (\partial_X H_m)^2 )^{3/2}}}$$ = (C.59)

En faisant l'hypothèse que U_m et H_m sont des fonctions analytiques de $\epsilon^{1/2}_{}$ nous pouvons résoudre les équations précédentes en utilisant un développement multi-échelle. Pour ceci on pose :

$$\epsilon^{1/2}_{} \epsilon$$ U_m = (C.60)

$$\epsilon^{1/2}_{} \epsilon$$ H_m = (C.61)

Les équations du modèle se résolvent alors en ordre successif en $\epsilon$.

Ordre 0

À cet ordre, l'équation [] s'écrit :

$$\partial_{{\cal ZZ}}^{}$$ (C.62)

ce qui implique U_m⁽⁰⁾ = a_m⁽⁰⁾$\cal {Z}$ + b_m⁽⁰⁾. Les équations [] et [] nous fournissent deux équations linéaires pour a_m⁽⁰⁾ et b_m⁽⁰⁾. Leur résolution conduit à :

a_m⁽⁰⁾ = 0 (C.63)

$$\cal {K}$$ b_m⁽⁰⁾ = (C.64)

À cet ordre, l'équation [] n'apporte aucune contribution à la vitesse des marches.

Ordre 1/2

À partir de l'équation [], la composante d'ordre 1/2 de U_m obéit à l'équation inhomogène suivante :

$$\rho_{m}^{(0)} \cal {H} \partial_{{\cal ZZ}}^{} {\frac{1}{\ell^2}}$$ (C.65)

dont la solution générale s'écrit :

$$\cal {Z} {\frac{c_m^{(1/2)}}{2}} \cal {Z} \cal {Z}$$ (C.66)

avec c_m^(1/2) = - 1/($\ell^{2}_{}$$\rho_{m}^{(0)}$$\cal {H}$_m⁽⁰⁾). À partir des conditions limites [] et [], on obtient :

$$\cal {H} \partial_{{\cal Z}}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} {\frac{{\cal S}_m^{(0)}}{d_+}} \left[\vphantom{ U_m^{(1/2)}(0) - {\cal K}_m^{(0)} }\right. \cal {K} \left.\vphantom{ U_m^{(1/2)}(0) - {\cal K}_m^{(0)} }\right]$$ = (C.67)

$$\cal {H} \partial_{{\cal Z}}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} {\frac{{\cal S}_m^{(0)}}{d_-}} \left[\vphantom{ U_m^{(1/2)}(1) \ {\cal K}_m^{(1/2)} - \Delta {\cal K}_m^{(0)} }\right. \cal {K} \Delta \cal {K} \left.\vphantom{ U_m^{(1/2)}(1) \ {\cal K}_m^{(1/2)} - \Delta {\cal K}_m^{(0)} }\right]$$ = (C.68)

Où U_m⁽⁰⁾ a été remplacé par sa valeur $\cal {K}$_m⁽⁰⁾ afin de rendre l'écriture plus légère. Ces deux équations nous fournissent un système linéaire dont a_m^(1/2) et b_m^(1/2) sont solutions.

L'équation [] nous donne à cet ordre sa première contribution :

$${\frac{1}{\ell}} {\frac{1}{D}} \partial_{T_{3/2}}^{} \left[\vphantom{ {\cal H}_m^{(0)} \partial_{\cal Z} U_m^{(1/2)} ({\cal Z}=0) - \partial_X H_m^{(0)} \partial_X U_m^{(0)} }\right. \cal {H} \partial_{\cal Z}^{} \cal {Z} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \left.\vphantom{ {\cal H}_m^{(0)} \partial_{\cal Z} U_m^{(1/2)} ({\cal Z}=0) - \partial_X H_m^{(0)} \partial_X U_m^{(0)} }\right]$$ =

$$\left[\vphantom{ {\cal H}_m^{(0)} \partial_{\cal Z} U_m^{(1/2)}({\cal Z}=1) - \partial_X H_m^{(0)} \partial_X U_m^{(0)} }\right. \cal {H} \partial_{\cal Z}^{} \cal {Z} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \left.\vphantom{ {\cal H}_m^{(0)} \partial_{\cal Z} U_m^{(1/2)}({\cal Z}=1) - \partial_X H_m^{(0)} \partial_X U_m^{(0)} }\right]$$ - (C.69)

$$\cal {H}$$ = (C.70)

$${\frac{1}{\ell}} {\frac{\Delta H_m^{(0)}}{\ell^2}}$$ = (C.71)

Soit :

$$\partial_{T_{3/2}}^{} {\frac{D}{\ell^2}} \Delta$$ (C.72)

On reconnaît dans ce terme la première contribution de effets propagatifs.

Ordre 1

À cet ordre, l'équation [] nous donnera l'équation dynamique désirée pour le méandre. D'après l'équation [], U_m⁽¹⁾ obéit à :

$$\partial_{\cal ZZ}^{} {\frac{1}{\rho_m^{(0)} {\cal H}_m^{(0)}}} \left[\vphantom{ \frac{}{} 2 \partial_X \rho_m^{(0)} \partial_X H... ...+ 2 \rho_m^{(0)} \partial_X H_m^{(0)} \partial_{X{\cal Z}} U_m^{(1/2)} }\right. {\frac{}{}} \partial_{X}^{} \rho_{m}^{(0)} \partial_{X}^{} \partial_{\cal Z}^{} \rho_{m}^{(0)} \partial_{X}^{} \partial_{X{\cal Z}}^{}$$ =

$$\rho_{m}^{(0)} \partial_{XX}^{} \partial_{\cal Z}^{} \partial_{X}^{} \rho_{m}^{(0)} \partial_{X}^{} \cal {Z} \partial_{\cal ZZ}^{}$$

$$\left.\vphantom{ \frac{}{} \partial_{XX} U_m^{(0)} - \left( \rho_... ...o_m^{(0)} {\cal H}_m^{(1/2)} \right) \, \partial_{\cal ZZ} U_m^{(1/2)} }\right. {\frac{}{}} \partial_{XX}^{} \left(\vphantom{ \rho_m^{(1/2)} {\cal H}_m^{(0)} + \rho_m^{(0)} {\cal H}_m^{(1/2)} }\right. \rho_{m}^{(1/2)} \cal {H} \rho_{m}^{(0)} \cal {H} \left.\vphantom{ \rho_m^{(1/2)} {\cal H}_m^{(0)} + \rho_m^{(0)} {\cal H}_m^{(1/2)} }\right) \partial_{\cal ZZ}^{} \left.\vphantom{ \frac{}{} \partial_{XX} U_m^{(0)} - \left( \rho_... ...o_m^{(0)} {\cal H}_m^{(1/2)} \right) \, \partial_{\cal ZZ} U_m^{(1/2)} }\right]$$ (C.73)

$${\frac{\cal Z}{\rho_m^{(0)} {\cal H}_m^{(0)}}} \left[\vphantom{ \frac{}{} 2 \partial_X \rho_m^{(0)} \partial_X H... ...^{(0)} \partial_X c_m^{(1/2)} + \rho_m^{(0)} \partial_{XX} c_m^{(1/2)} }\right. {\frac{}{}} \partial_{X}^{} \rho_{m}^{(0)} \partial_{X}^{} \rho_{m}^{(0)} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \rho_{m}^{(0)} \partial_{XX}^{} \left.\vphantom{ \frac{}{} 2 \partial_X \rho_m^{(0)} \partial_X H... ...^{(0)} \partial_X c_m^{(1/2)} + \rho_m^{(0)} \partial_{XX} c_m^{(1/2)} }\right]$$ =

$${\frac{1}{\rho_m^{(0)} {\cal H}_m^{(0)}}} \left[\vphantom{ \frac{}{} 2 \partial_X \rho_m^{(0)} \partial_X H... ...m^{(1/2)} + 2 \rho_m^{(0)} \partial_X H_m^{(0)} \partial_X a_m^{(1/2)} }\right. {\frac{}{}} \partial_{X}^{} \rho_{m}^{(0)} \partial_{X}^{} \rho_{m}^{(0)} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{}$$ +

$$\left.\vphantom{ \frac{}{} \rho_m^{(0)} \partial_{XX} H_m^{(0)} a... ...al H}_m^{(0)} + \rho_m^{(0)} {\cal H}_m^{(1/2)} \right) \, c_m^{(1/2)} }\right. {\frac{}{}} \rho_{m}^{(0)} \partial_{XX}^{} \partial_{XX}^{} \cal {K} \left(\vphantom{ \rho_m^{(1/2)} {\cal H}_m^{(0)} + \rho_m^{(0)} {\cal H}_m^{(1/2)} }\right. \rho_{m}^{(1/2)} \cal {H} \rho_{m}^{(0)} \cal {H} \left.\vphantom{ \rho_m^{(1/2)} {\cal H}_m^{(0)} + \rho_m^{(0)} {\cal H}_m^{(1/2)} }\right) \left.\vphantom{ \frac{}{} \rho_m^{(0)} \partial_{XX} H_m^{(0)} a... ...al H}_m^{(0)} + \rho_m^{(0)} {\cal H}_m^{(1/2)} \right) \, c_m^{(1/2)} }\right]$$ (C.74)

$$\cal {Z}$$ = (C.75)

et s'écrit :

$$\cal {Z} {\frac{A_m^{(1)}}{6}} \cal {Z} {\frac{B_m^{(1)}}{2}} \cal {Z} \cal {Z}$$ (C.76)

Les deux constantes a_m⁽¹⁾ et b_m⁽¹⁾ sont obtenues en résolvant les équations [] et []. La résolution de l'équation [] à cet ordre nous donne l'équation dynamique tant attendue :

$${\frac{1}{D}} \left[\vphantom{ \partial_{T_{3/2}} H_m^{(1/2)} + \partial_{T_2} H_m^{(0)} }\right. \partial_{T_{3/2}}^{} \partial_{T_2}^{} \left.\vphantom{ \partial_{T_{3/2}} H_m^{(1/2)} + \partial_{T_2} H_m^{(0)} }\right] \left[\vphantom{ \frac{}{} {\cal H}_m^{(0)} \partial_{\cal Z} U_m^{(1)} (0) + {\cal H}_m^{(1/2)} \partial_{\cal Z} U_m^{(1/2)} (0) }\right. {\frac{}{}} \cal {H} \partial_{\cal Z}^{} \cal {H} \partial_{\cal Z}^{}$$ =

$$\left.\vphantom{ \frac{}{} - \partial_X H_m^{(0)} \partial_X U_m^{(1/2)} (0) - \partial_X H_m^{(1/2)} \partial_X U_m^{(0)} }\right. {\frac{}{}} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \left.\vphantom{ \frac{}{} - \partial_X H_m^{(0)} \partial_X U_m^{(1/2)} (0) - \partial_X H_m^{(1/2)} \partial_X U_m^{(0)} }\right]$$

$$\left[\vphantom{ \frac{}{} {\cal H}_m^{(0)} \partial_{\cal Z} U_m^{(1)} (1) + {\cal I}_m^{(1/2)} \partial_{\cal Z} U_m^{(1/2)} (1) }\right. {\frac{}{}} \cal {H} \partial_{\cal Z}^{} \cal {I} \partial_{\cal Z}^{}$$ -

$$\partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{}$$

$$\left.\vphantom{ \frac{}{} \partial_X \Delta H_m^{(0)} \partial_X U_m^{(0)} (1) }\right. {\frac{}{}} \partial_{X}^{} \Delta \partial_{X}^{} \left.\vphantom{ \frac{}{} \partial_X \Delta H_m^{(0)} \partial_X U_m^{(0)} (1) }\right]$$

$$\Delta \left[\vphantom{ \frac{}{} {\cal H}_m^{(0)} \partial_{\cal Z} U_m^{(1/2)} (1) - \partial_X H_m^{(0)} \partial_X U_m^{(0)} (1) }\right. {\frac{}{}} \cal {H} \partial_{\cal Z}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \left.\vphantom{ \frac{}{} {\cal H}_m^{(0)} \partial_{\cal Z} U_m^{(1/2)} (1) - \partial_X H_m^{(0)} \partial_X U_m^{(0)} (1) }\right]$$ + (C.77)

$$\cal {H} \left(\vphantom{ \frac{A_m^{(1)}}{2} + B_m^{(1)} }\right. {\frac{A_m^{(1)}}{2}} \left.\vphantom{ \frac{A_m^{(1)}}{2} + B_m^{(1)} }\right)$$ =

$$\rho_{m}^{(0)} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \Delta \left(\vphantom{ c_m^{(1/2)} + a_m^{(1/2)} }\right. \left.\vphantom{ c_m^{(1/2)} + a_m^{(1/2)} }\right) \cal {H}$$

$$\partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \left(\vphantom{ \frac{c_m^{(1/2)}}{2} + a_m^{(1/2)} }\right. {\frac{c_m^{(1/2)}}{2}} \left.\vphantom{ \frac{c_m^{(1/2)}}{2} + a_m^{(1/2)} }\right) \partial_{X}^{} \Delta \partial_{X}^{} \cal {K}$$

$$\Delta \left[\vphantom{ {\cal H}_m^{(0)} \left( c_m^{(1/2)} + a_m^{(1/2)} \right) - \partial_X H_m^{(0)} \partial_X {\cal K}_m^{(0)} }\right. \cal {H} \left(\vphantom{ c_m^{(1/2)} + a_m^{(1/2)} }\right. \left.\vphantom{ c_m^{(1/2)} + a_m^{(1/2)} }\right) \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \cal {K} \left.\vphantom{ {\cal H}_m^{(0)} \left( c_m^{(1/2)} + a_m^{(1/2)} \right) - \partial_X H_m^{(0)} \partial_X {\cal K}_m^{(0)} }\right]$$ (C.78)

En utilisant maintenant l'expression de A_m⁽¹⁾, B_m⁽¹⁾ et c_m^(1/2) ainsi que la constante a_m^(1/2) précédemment calculée, on obtient finalement l'équation d'évolution suivante :

$$\partial_{T_{3/2}}^{} \partial_{T_2}^{} {\frac{D}{\ell^2}} \Delta$$ +

$$\partial_{X}^{} \left[\vphantom{ \frac{}{} \ell_m^{(0)} \partial_X {\cal K}_m^{(0... ...frac{\partial_X H_m^{(0)}}{(d_++d_-){\cal H}_m^{(0)}+{\cal S}_m^{(0)}} }\right. {\frac{}{}} \ell_{m}^{(0)} \partial_{X}^{} \cal {K} {\frac{\partial_X H_m^{(0)}}{(d_++d_-){\cal H}_m^{(0)}+{\cal S}_m^{(0)}}}$$

$$\left.\vphantom{ \left( \frac{}{} (d_++d_-) \, \partial_X H_m^{(0... ..._m^{(0)} + \frac{d_--d_+}{2} \, \frac{\ell_m^{(0)}}{\ell^2} \right) \; }\right. \left(\vphantom{ \frac{}{} (d_++d_-) \, \partial_X H_m^{(0)} \par... ...ta {\cal K}_m^{(0)} + \frac{d_--d_+}{2} \, \frac{\ell_m^{(0)}}{\ell^2} }\right. {\frac{}{}} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \cal {K} \cal {S} \Delta \cal {K} {\frac{d_--d_+}{2}} {\frac{\ell_m^{(0)}}{\ell^2}} \left.\vphantom{ \frac{}{} (d_++d_-) \, \partial_X H_m^{(0)} \par... ...ta {\cal K}_m^{(0)} + \frac{d_--d_+}{2} \, \frac{\ell_m^{(0)}}{\ell^2} }\right) \left.\vphantom{ \left( \frac{}{} (d_++d_-) \, \partial_X H_m^{(0... ..._m^{(0)} + \frac{d_--d_+}{2} \, \frac{\ell_m^{(0)}}{\ell^2} \right) \; }\right]$$

$$\Delta \left[\vphantom{ \frac{}{} \partial_X H_m^{(0)} \partial_X {\cal ... ... - \frac{{\cal H}_m^{(0)}}{(d_++d_-){\cal H}_m^{(0)}+{\cal S}_m^{(0)}} }\right. {\frac{}{}} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \cal {K} {\frac{{\cal H}_m^{(0)}}{(d_++d_-){\cal H}_m^{(0)}+{\cal S}_m^{(0)}}}$$

$$\left.\vphantom{ \frac{}{} \left( (d_++d_-) \, \partial_X H_m^{(0... ...cal S}_m^{(0)}) \frac{\ell_m^{(0)}}{2 \ell^2 {\cal H}_m^{(0)}} \right) }\right. {\frac{}{}} \left(\vphantom{ (d_++d_-) \, \partial_X H_m^{(0)} \partial_X {\c... ...0)} + {\cal S}_m^{(0)}) \frac{\ell_m^{(0)}}{2 \ell^2 {\cal H}_m^{(0)}} }\right. \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \cal {K} \cal {S} \Delta \cal {K} \cal {H} \cal {S} {\frac{\ell_m^{(0)}}{2 \ell^2 {\cal H}_m^{(0)}}} \left.\vphantom{ (d_++d_-) \, \partial_X H_m^{(0)} \partial_X {\c... ...0)} + {\cal S}_m^{(0)}) \frac{\ell_m^{(0)}}{2 \ell^2 {\cal H}_m^{(0)}} }\right) \left.\vphantom{ \frac{}{} \left( (d_++d_-) \, \partial_X H_m^{(0... ...cal S}_m^{(0)}) \frac{\ell_m^{(0)}}{2 \ell^2 {\cal H}_m^{(0)}} \right) }\right]$$ (C.79)

Nous avons maintenant deux équations ([] et []) qui expriment la dynamique séparément sur les deux échelles de temps mentionnées plus haut : la rapide et la lente. En posant $\tilde{H}_{m}$ = H_m⁽⁰⁾ + $\epsilon^{1/2}_{}$H_m^(1/2) et $\tilde{T}$ = $\epsilon^{-1/2}_{}$T_3/2 + T₂, on peut les regrouper en une seule équation :

$$\partial_{\tilde T}^{} \tilde{H} \epsilon^{-1/2}_{} \partial_{T_{3/2}}^{} \partial_{T_{3/2}}^{} \partial_{T_2}^{} \epsilon^{1/2}_{}$$ (C.80)

En revenant aux variables physiques, on obtient finalement :

$$\partial_{t}^{} \zeta_{m}^{} \partial_{x}^{} \delta \Omega \delta \left[\vphantom{ \zeta_m - \frac{\ell_m}{2} }\right. \zeta_{m}^{} {\frac{\ell_m}{2}} \left.\vphantom{ \zeta_m - \frac{\ell_m}{2} }\right]$$ (C.81)

avec

$${\frac{\ell_m}{s_m}} \left(\vphantom{ \frac{ \partial_x \zeta_m}{(d_++d_-) + \ell_m/s_m} }\right. {\frac{\partial_x \zeta_m}{(d_++d_-) + \ell_m/s_m}} \left.\vphantom{ \frac{ \partial_x \zeta_m}{(d_++d_-) + \ell_m/s_m} }\right) \left[\vphantom{ \frac{d_--d_+}{2} \Omega F \frac{\ell_m}{s_m} + ... ...c{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\bar \kappa}_m \right) }\right. {\frac{d_--d_+}{2}} \Omega {\frac{\ell_m}{s_m}} \left(\vphantom{ \delta {\bar \kappa}_m - \frac{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\bar \kappa}_m }\right. \delta \bar{\kappa}_{m} {\frac{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2}} \partial_{x}^{} \bar{\kappa}_{m} \left.\vphantom{ \delta {\bar \kappa}_m - \frac{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\bar \kappa}_m }\right) \left.\vphantom{ \frac{d_--d_+}{2} \Omega F \frac{\ell_m}{s_m} + ... ...c{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\bar \kappa}_m \right) }\right]$$ J_m =

$${\frac{\ell_m}{s_m^2}} \partial_{x}^{} \bar{\kappa}_{m}$$ (C.82)

$$\left(\vphantom{ \frac{s_m}{(d_++d_-) + \ell_m/s_m} }\right. {\frac{s_m}{(d_++d_-) + \ell_m/s_m}} \left.\vphantom{ \frac{s_m}{(d_++d_-) + \ell_m/s_m} }\right) \left[\vphantom{ \frac{d_--d_+}{2} \Omega F \frac{\ell_m}{s_m} + ... ...c{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\bar \kappa}_m \right) }\right. {\frac{d_--d_+}{2}} \Omega {\frac{\ell_m}{s_m}} \left(\vphantom{ \delta {\bar \kappa}_m - \frac{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\bar \kappa}_m }\right. \delta \bar{\kappa}_{m} {\frac{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2}} \partial_{x}^{} \bar{\kappa}_{m} \left.\vphantom{ \delta {\bar \kappa}_m - \frac{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\bar \kappa}_m }\right) \left.\vphantom{ \frac{d_--d_+}{2} \Omega F \frac{\ell_m}{s_m} + ... ...c{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\bar \kappa}_m \right) }\right]$$ G_m = (C.83)

avec $\bar{\kappa}_{m}$ = $\Omega$ c_eq0 $\Gamma$ $\kappa_{m}^{}$, où $\kappa_{m}^{}$ est la courbure du méandre $\zeta_{m}^{}$, et s_m = (1 + ($\partial_{x}^{}$$\zeta_{m}^{}$)²)^1/2. $\delta$ est l'opérateur de différence finie, défini pour une fonction f de la variable m par $\delta$f_m = f_{m + 1} - f_m.

Nous avons obtenu l'équation dynamique pour la marche m. Cette équation est couplée avec celle de la marche m + 1. Toutes les marches de la surface sont donc couplées entre elles. Comme le déphasage entre marche est faible proche du seuil de l'instabilité, pour étudier la dynamique de la surface vicinale, on doit prendre en compte un nombre n considérable de marches ; où n $\sim$ 1/$\phi$. On a alors à résoudre un système de n équations non linéaires couplées. Cette approche, bien que plus simple que la résolution directe des équations discrètes du modèle BCF, demeure prohibitive numériquement si l'on veut étudier la dynamique à grande échelle de la surface vicinale. Le développement analytique de l'équation d'évolution de la surface peut cependant être poursuivi jusqu'à aboutir à une équation dynamique continue de la surface.

Considérons maintenant que la surface peut être représentée dans le repère fixe du laboratoire par une équation de la forme :

f (x, y, z, t) = 0  . (C.84)

Alors, la représentation de la surface au moyen des marches (appelons la « représentation discrète » ) s'écrit :

$$\tilde{z}_{m}$$ (C.85)

avec $\tilde{z}_{m}$ = V₀t + m$\ell$ + $\zeta_{m}^{}$(x, t) ; y = - ma (où a est une longueur atomique) étant la hauteur de la surface au niveau de la marche m.

Nous pouvons aussi choisir une représentation continue de la surface au moyen d'une fonction h de x et z qui représente la hauteur de la surface en (x, z). Nous avons alors :

f (x, y, z, t) = 0 = y - h(x, z, t)  . (C.86)

À z = $\tilde{z}_{m}$(x, t) et y = - ma, nous avons la correspondance suivante entre les deux représentations :

$$\ell \zeta_{m}^{}$$ (C.87)

En utilisant cette « équation maîtresse » , nous serons capable de traduire l'ensemble des équations dynamiques de la représentation discrète en une équation d'évolution continue.

Le vecteur normal à la surface est défini par (dans le repère (x, y, z)) :

$$\vec{N}\, {\frac{\vec{\nabla} f}{\Vert \nabla f \Vert}} {\frac{1}{\sqrt{1+(\partial_x h)^2 + (\partial_z h)^2}}} \left(\vphantom{ \begin{array}{c} - \partial_x h \\ 1 \\ -\partial_z h \end{array} }\right. \begin{array}{c} - \partial_x h \\ 1 \\ -\partial_z h \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{c} - \partial_x h \\ 1 \\ -\partial_z h \end{array} }\right)$$ (C.88)

Le vecteur $\vec{n}\,$, normal aux marches dans le plan (x, z) est alors donné par ^C.1 :

$$\vec{n}\, {\frac{-1}{\Vert \nabla h \Vert}} \left(\vphantom{ \begin{array}{c} \partial_x h \\ \partial_z h \end{array} }\right. \begin{array}{c} \partial_x h \\ \partial_z h \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{c} \partial_x h \\ \partial_z h \end{array} }\right)$$ (C.89)

On définit aussi le vecteur $\vec{s}\,$, tangent aux marches dans le plan (x, z) :

$$\vec{s}\, {\frac{1}{\Vert \nabla h \Vert}} \left(\vphantom{ \begin{array}{c} -\partial_z h \\ \partial_x h \end{array} }\right. \begin{array}{c} -\partial_z h \\ \partial_x h \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{c} -\partial_z h \\ \partial_x h \end{array} }\right)$$ (C.90)

$\bullet$ En dérivant l'équation [] envers t et x, on obtient :

$$\partial_{t}^{} \partial_{t}^{} \zeta_{m}^{} \partial_{z}^{}$$ = (C.91)

$$\partial_{x}^{} \zeta_{m}^{} {\frac{\partial_x h}{\partial_z h}}$$ = (C.92)

$\bullet$ Pour une fonction f définie sur la surface h, posons f_m = f (x,$\tilde{z}_{m}$, t) ; c'est l'évaluation de la fonction f le long de la marche m. Alors :

$${\frac{\partial f_m}{\partial_x}} \left.\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial x} }\right. {\frac{\partial f}{\partial x}} \left.\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial x} }\right)_{m}^{} \left.\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial x} }\right. {\frac{\partial f}{\partial x}} \left.\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial x} }\right)_{z}^{} {\frac{\partial {\tilde z}_m}{\partial x}} \left.\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial z} }\right. {\frac{\partial f}{\partial z}} \left.\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial z} }\right)_{x}^{}$$ =

$$\left.\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial x} }\right. {\frac{\partial f}{\partial x}} \left.\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial x} }\right)_{z}^{} {\frac{\partial_x h}{\partial_z h}} \left.\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial z} }\right. {\frac{\partial f}{\partial z}} \left.\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial z} }\right)_{x}^{}$$ =

$${\frac{1}{\partial_z h}} \left(\vphantom{ \frac{}{} \partial_z h \, \partial_x f \, - \partial_x h \, \partial_z f }\right. {\frac{}{}} \partial_{z}^{} \partial_{x}^{} \partial_{x}^{} \partial_{z}^{} \left.\vphantom{ \frac{}{} \partial_z h \, \partial_x f \, - \partial_x h \, \partial_z f }\right)$$ =

$${\frac{-1}{\partial_z h}} \left(\vphantom{ \frac{}{} \left( \Vert h \Vert \, \vec{s} \right) \cdot \left( \vec{\nabla} f \right) }\right. {\frac{}{}} \left(\vphantom{ \Vert h \Vert \, \vec{s} }\right. \vec{s}\, \left.\vphantom{ \Vert h \Vert \, \vec{s} }\right) \left(\vphantom{ \vec{\nabla} f }\right. \vec{\nabla}\, \left.\vphantom{ \vec{\nabla} f }\right) \left.\vphantom{ \frac{}{} \left( \Vert h \Vert \, \vec{s} \right) \cdot \left( \vec{\nabla} f \right) }\right)$$ =

En utilisant le fait que $\vec{\nabla}\,$(|$\nabla$| $\vec{s}\,$) = 0, on a :

$$\left.\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial x} }\right. {\frac{\partial f}{\partial x}} \left.\vphantom{ \frac{\partial f}{\partial x} }\right)_{m}^{} {\frac{\Vert \nabla h \Vert}{\partial_z h}} \vec{s}\, \vec{\nabla}\,$$ = (C.93)

$${\frac{1}{\partial_z h}} \vec{\nabla}\, \left(\vphantom{ \Vert \nabla h \Vert f \vec{s} }\right. \nabla \vec{s}\, \left.\vphantom{ \Vert \nabla h \Vert f \vec{s} }\right)$$ = (C.94)

En appliquant l'équation [] à $\partial_{x}^{}$$\zeta_{m}^{}$ = - ${\frac{\partial_x h}{\partial_z h}}$, on a :

$$\partial_{x}^{2} \zeta_{m}^{} {\frac{\Vert \nabla h \Vert}{\partial_z h}} \vec{s}\, \vec{\nabla}\, \left(\vphantom{ \partial_x \zeta_m }\right. \partial_{x}^{} \zeta_{m}^{} \left.\vphantom{ \partial_x \zeta_m }\right) {\frac{-1}{\partial_z h}} \left[\vphantom{ \partial_z h \, \partial_x \left( \frac{\partial... ...ial_x h \, \partial_z \left( \frac{\partial_x h}{\partial_z h} \right) }\right. \partial_{z}^{} \partial_{x}^{} \left(\vphantom{ \frac{\partial_x h}{\partial_z h} }\right. {\frac{\partial_x h}{\partial_z h}} \left.\vphantom{ \frac{\partial_x h}{\partial_z h} }\right) \partial_{x}^{} \partial_{z}^{} \left(\vphantom{ \frac{\partial_x h}{\partial_z h} }\right. {\frac{\partial_x h}{\partial_z h}} \left.\vphantom{ \frac{\partial_x h}{\partial_z h} }\right) \left.\vphantom{ \partial_z h \, \partial_x \left( \frac{\partial... ...ial_x h \, \partial_z \left( \frac{\partial_x h}{\partial_z h} \right) }\right]$$ =

soit :

$$\partial_{x}^{2} \zeta_{m}^{} {\frac{(\partial_z h)^2 \, \partial_x^2 h - 2 \partial_x h \, \pa... ... h \, \partial_{xz} h + (\partial_x h)^2 \, \partial_z^2 h }{(\partial_z h)^3}}$$ = (C.95)

Et pour la courbure $\kappa_{m}^{}$, nous obtenons (en tenant compte de ce que la surface est vicinale : $\partial_{z}^{}$h = - |$\partial_{z}^{}$h|) :

$$\kappa_{m}^{} {\frac{\partial_x^2 \zeta_m}{(1+(\partial_x \zeta_m)^2 )^{3/2}}} {\frac{(\partial_z h)^2 \, \partial_x^2 h - 2 \partial_x h \, \pa... ...\partial_{xz} h + (\partial_x h)^2 \, \partial_z^2 h }{\Vert \nabla h \Vert^3}} \cal {K}$$ (C.96)

$\bullet$ Il est maintenant temps d'introduire « l'approximation continue » . Comme y = - ma au niveau de la marche m, on peut considérer l'indice des marches m comme une variable continue (i.e. on s'intéressera à la hauteur h à la place de l'indice m).

Comme le comportement d'échelle du déphasage $\phi$, associé à l'indice des marches m est $\phi$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$, nous avons le comportement d'échelle suivant pour la hauteur de la surface : h $\sim$ $\epsilon^{-1/2}_{}$. Le déphasage entre marches étant faible, la dynamique sera observée sur de grandes échelles de longueur ; alors $\partial_{z}^{}$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$. Nous avons alors :

$$\ell_{m}^{} \ell \zeta_{m+1}^{} \zeta_{m}^{}$$ =

$$\ell {\frac{\partial \zeta_m}{\partial_m}} {\textstyle\frac{1}{2}} {\frac{\partial^2 \zeta_m}{\partial_m^2}} \epsilon$$ = (C.97)

Et, en dérivant l'équation [] envers m, nous obtenons :

$$\left(\vphantom{ \ell + \frac{\partial \zeta_m}{\partial_m} }\right. \ell {\frac{\partial \zeta_m}{\partial_m}} \left.\vphantom{ \ell + \frac{\partial \zeta_m}{\partial_m} }\right) \partial_{z}^{}$$

$${\frac{\partial^2 \zeta_m}{\partial_m^2}} \partial_{z}^{} \left(\vphantom{ \ell + \frac{\partial \zeta_m}{\partial_m} }\right. \ell {\frac{\partial \zeta_m}{\partial_m}} \left.\vphantom{ \ell + \frac{\partial \zeta_m}{\partial_m} }\right)^{2}_{} \partial_{zz}^{}$$

Ainsi, $\ell_{m}^{}$ se récrit :

$$\ell_{m}^{} {\frac{a}{\partial_z h}} {\frac{a^2}{2 \partial_z h}} \partial_{z}^{} \left(\vphantom{ \frac{1}{\partial_z h} }\right. {\frac{1}{\partial_z h}} \left.\vphantom{ \frac{1}{\partial_z h} }\right) \epsilon$$ (C.98)

Le premier terme du membre de droite étant, compte tenu des comportements d'échelle respectifs de h et z, d'ordre un et le second d'ordre $\epsilon^{1/2}_{}$. Comme le terme advectif de l'équation dynamique agit sur l'échelle de temps rapide, on doit pour celui-ci prendre en compte dans le développement les termes d'ordre $\epsilon^{1/2}_{}$ alors qu'un développement à l'ordre le plus bas est suffisant pour les autres termes pour obtenir les contributions dominantes de la dynamique.

$\bullet$ Pour une fonction g dépendant de la variable m et définie sur la surface, on a $\delta$g_m = $\left.\vphantom{ g }\right.$g$\left.\vphantom{ g }\right)_{m+1}^{}$ - $\left.\vphantom{ g }\right.$g$\left.\vphantom{ g }\right)_{m}^{}$ avec $\left.\vphantom{ g }\right.$g$\left.\vphantom{ g }\right)_{m}^{}$ = g(x, z = z_m, t). Alors :

$$\delta \left.\vphantom{ g }\right. \left.\vphantom{ g }\right)_{m+1}^{} \left.\vphantom{ g }\right. \left.\vphantom{ g }\right)_{m}^{} {\frac{\partial g}{\partial_m}} {\textstyle\frac{1}{2}} {\frac{\partial^2 g}{\partial_m^2}} \epsilon$$ =

$$\left(\vphantom{ \ell + \frac{\partial \zeta_m}{\partial_m} }\right. \ell {\frac{\partial \zeta_m}{\partial_m}} \left.\vphantom{ \ell + \frac{\partial \zeta_m}{\partial_m} }\right) \partial_{z}^{} \epsilon^{1/2}_{}$$ =

Or, d'après l'éq. [], $\left(\vphantom{ \ell + \frac{\partial \zeta_m}{\partial_m} }\right.$$\ell$ + ${\frac{\partial \zeta_m}{\partial_m}}$$\left.\vphantom{ \ell + \frac{\partial \zeta_m}{\partial_m} }\right)$ = $\ell_{m}^{}$ + O($\epsilon^{1/2}_{}$). Et en explicitant $\ell_{m}^{}$, d'après l'éq. [], on a simplement :

$$\delta {\frac{a}{\partial_z h}} \partial_{z}^{} \epsilon^{1/2}_{}$$ = (C.99)

On peut aussi récrire la dérivée le long de z comme une divergence :

$$\partial_{z}^{} \vec{\nabla}\, \left(\vphantom{ g \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) }\right. \left(\vphantom{ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} }\right. \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} }\right) \left.\vphantom{ g \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) }\right)$$

Et, en prenant en compte le fait que

$$\left(\vphantom{ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} }\right. \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} }\right) {\frac{\partial_x h}{\Vert \nabla h \Vert}} \vec{s}\, {\frac{\partial_z h}{\Vert \nabla \Vert}} \vec{n}\,$$

nous avons

$$\partial_{z}^{} \vec{\nabla}\, \left[\vphantom{ \frac{\partial_x h}{\Vert \nabla h \Vert} \, g \, \vec{s} - \frac{\partial_z h}{\Vert \nabla \Vert} \, g \, \vec{n} }\right. {\frac{\partial_x h}{\Vert \nabla h \Vert}} \vec{s}\, {\frac{\partial_z h}{\Vert \nabla \Vert}} \vec{n}\, \left.\vphantom{ \frac{\partial_x h}{\Vert \nabla h \Vert} \, g \, \vec{s} - \frac{\partial_z h}{\Vert \nabla \Vert} \, g \, \vec{n} }\right]$$

soit :

$$\delta {\frac{a}{\partial_z h}} \vec{\nabla}\, \left[\vphantom{ \frac{\partial_x h}{\Vert \nabla h \Vert} \, g \, \vec{s} - \frac{\partial_z h}{\Vert \nabla \Vert} \, g \, \vec{n} }\right. {\frac{\partial_x h}{\Vert \nabla h \Vert}} \vec{s}\, {\frac{\partial_z h}{\Vert \nabla \Vert}} \vec{n}\, \left.\vphantom{ \frac{\partial_x h}{\Vert \nabla h \Vert} \, g \, \vec{s} - \frac{\partial_z h}{\Vert \nabla \Vert} \, g \, \vec{n} }\right] \epsilon^{1/2}_{}$$ (C.100)

En utilisant l'équation [], on obtient :

$$\sqrt{1 + (\partial_x \zeta_m)^2 } {\frac{\Vert \nabla h \Vert}{\partial_z h}}$$ (C.101)

alors

$${\frac{\ell_m}{s_m}} {\frac{a}{\Vert \nabla h \Vert}} \epsilon^{1/2}_{}$$ = (C.102)

$${\frac{\partial_x \zeta_m}{s_m}} {\frac{\partial_x h}{\Vert \nabla h \Vert}}$$ = (C.103)

À l'aide des équations [,,,], on a :

$$\delta \kappa_{m}^{} {\frac{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2}} \partial_{x}^{} \kappa_{m}^{} {\frac{a}{\partial_z h}} \partial_{z}^{} \cal {K} {\frac{a \, \partial_x h}{\Vert \nabla h \Vert^2}} \left(\vphantom{ \partial_x {\cal K} - \frac{\partial_x h}{\partial_z h} \, \partial_z {\cal K} }\right. \partial_{x}^{} \cal {K} {\frac{\partial_x h}{\partial_z h}} \partial_{z}^{} \cal {K} \left.\vphantom{ \partial_x {\cal K} - \frac{\partial_x h}{\partial_z h} \, \partial_z {\cal K} }\right)$$ =

$${\frac{a}{\Vert \nabla h \Vert^2}} \left[\vphantom{ \frac{}{} \partial_z h \, \partial_z {\cal K} + \partial_x h \, \partial_x {\cal K} }\right. {\frac{}{}} \partial_{z}^{} \partial_{z}^{} \cal {K} \partial_{x}^{} \partial_{x}^{} \cal {K} \left.\vphantom{ \frac{}{} \partial_z h \, \partial_z {\cal K} + \partial_x h \, \partial_x {\cal K} }\right]$$ =

soit, simplement :

$$\delta \kappa_{m}^{} {\frac{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2}} \partial_{x}^{} \kappa_{m}^{} {\frac{a}{\Vert \nabla h \Vert}} \vec{n}\, \vec{\nabla}\, \cal {K}$$ (C.104)

En utilisant les équations [,,,, ], on peut exprimer J_m et G_m :

$${\frac{a}{\Vert \nabla h \Vert}} \left(\vphantom{ \frac{ - \partial_x h/\partial_z h}{(d_++d_-) + \frac{a}{\Vert \nabla h \Vert}} }\right. {\frac{- \partial_x h/\partial_z h}{(d_++d_-) + \frac{a}{\Vert \nabla h \Vert}}} \left.\vphantom{ \frac{ - \partial_x h/\partial_z h}{(d_++d_-) + \frac{a}{\Vert \nabla h \Vert}} }\right) \left[\vphantom{ \frac{d_--d_+}{2} \Omega F \, \frac{a}{\Vert \na... ...a}{\Vert \nabla h \Vert} \, \vec{n} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} }\right. {\frac{d_--d_+}{2}} \Omega {\frac{a}{\Vert \nabla h \Vert}} {\frac{a}{\Vert \nabla h \Vert}} \vec{n}\, \vec{\nabla}\, \bar{\cal K} \left.\vphantom{ \frac{d_--d_+}{2} \Omega F \, \frac{a}{\Vert \na... ...a}{\Vert \nabla h \Vert} \, \vec{n} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} }\right]$$ J_m =

$${\frac{a}{\Vert \nabla h \Vert}} \vec{s}\, \vec{\nabla}\, \bar{\cal K}$$ (C.105)

$${\frac{\Vert \nabla h \Vert}{\partial_z h}} \left(\vphantom{ \frac{1}{(d_++d_-) + \frac{a}{\Vert \nabla h \Vert}} }\right. {\frac{1}{(d_++d_-) + \frac{a}{\Vert \nabla h \Vert}}} \left.\vphantom{ \frac{1}{(d_++d_-) + \frac{a}{\Vert \nabla h \Vert}} }\right) \left[\vphantom{ \frac{d_--d_+}{2} \Omega F \, \frac{a}{\Vert \na... ...a}{\Vert \nabla h \Vert} \, \vec{n} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} }\right. {\frac{d_--d_+}{2}} \Omega {\frac{a}{\Vert \nabla h \Vert}} {\frac{a}{\Vert \nabla h \Vert}} \vec{n}\, \vec{\nabla}\, \bar{\cal K} \left.\vphantom{ \frac{d_--d_+}{2} \Omega F \, \frac{a}{\Vert \na... ...a}{\Vert \nabla h \Vert} \, \vec{n} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} }\right]$$ G_m = (C.106)

où $\bar{\cal K}$ = $\Omega$ c_eq0 $\Gamma$ $\cal {K}$.

Enfin, l'équation [], combinée avec l'équation [], nous donne, après quelques manipulations algébriques, l'équation dynamique désirée :

$$\partial_{t}^{} \left(\vphantom{ \Omega F \ell - \partial_x J_m + \delta G_m + \Omega F \, \delta \left[ \zeta_m - \frac{\ell_m}{2} \right] }\right. \Omega \ell \partial_{x}^{} \delta \Omega \delta \left[\vphantom{ \zeta_m - \frac{\ell_m}{2} }\right. \zeta_{m}^{} {\frac{\ell_m}{2}} \left.\vphantom{ \zeta_m - \frac{\ell_m}{2} }\right] \left.\vphantom{ \Omega F \ell - \partial_x J_m + \delta G_m + \Omega F \, \delta \left[ \zeta_m - \frac{\ell_m}{2} \right] }\right) \partial_{z}^{}$$ =

$$\partial_{z}^{} \left(\vphantom{ \Omega F \left[ \ell_m - \delta\, \frac{\ell_m}{2} \right] - \partial_x J_m + \delta G_m }\right. \Omega \left[\vphantom{ \ell_m - \delta\, \frac{\ell_m}{2} }\right. \ell_{m}^{} \delta {\frac{\ell_m}{2}} \left.\vphantom{ \ell_m - \delta\, \frac{\ell_m}{2} }\right] \partial_{x}^{} \delta \left.\vphantom{ \Omega F \left[ \ell_m - \delta\, \frac{\ell_m}{2} \right] - \partial_x J_m + \delta G_m }\right)$$ = (C.107)

Les équations [] et [] permettent d'évaluer :

$$\partial_{x}^{} {\frac{1}{\partial_z h}} \vec{\nabla}\, \left[\vphantom{ \frac{}{} \Vert \nabla h \Vert \, J_m \, \vec{s} }\right. {\frac{}{}} \nabla \vec{s}\, \left.\vphantom{ \frac{}{} \Vert \nabla h \Vert \, J_m \, \vec{s} }\right]$$ = (C.108)

$$\delta {\frac{a}{\partial_z h}} \vec{\nabla}\, \left[\vphantom{ \left( \frac{\partial_z h}{\Vert \nabla h \Vert}... ... - \frac{\partial_z h}{\Vert \nabla h \Vert} \, \vec{n} \right) \, G_m }\right. \left(\vphantom{ \frac{\partial_z h}{\Vert \nabla h \Vert} \, \vec{s} - \frac{\partial_z h}{\Vert \nabla h \Vert} \, \vec{n} }\right. {\frac{\partial_z h}{\Vert \nabla h \Vert}} \vec{s}\, {\frac{\partial_z h}{\Vert \nabla h \Vert}} \vec{n}\, \left.\vphantom{ \frac{\partial_z h}{\Vert \nabla h \Vert} \, \vec{s} - \frac{\partial_z h}{\Vert \nabla h \Vert} \, \vec{n} }\right) \left.\vphantom{ \left( \frac{\partial_z h}{\Vert \nabla h \Vert}... ... - \frac{\partial_z h}{\Vert \nabla h \Vert} \, \vec{n} \right) \, G_m }\right]$$ = (C.109)

Les termes propagatifs $\Omega$F$\ell_{m}^{}$ et $\Omega$F$\delta$$\ell_{m}^{}$/2 sont d'ordre supérieur ; ils doivent être évalués jusqu'à l'ordre $\epsilon^{1/2}_{}$. $\delta$$\ell_{m}^{}$ est calculé grâce à [] et [] :

$$\delta \ell_{m}^{} {\frac{a}{\partial_z h}} \partial_{z}^{} \left[\vphantom{ \frac{a}{\partial_z h} }\right. {\frac{a}{\partial_z h}} \left.\vphantom{ \frac{a}{\partial_z h} }\right] \epsilon$$ (C.110)

En combinant tout ceci, nous obtenons finalement l'équation dynamique pour la surface dans une représentation continue :

$$\partial_{t}^{} \tilde{h} \vec{\nabla}\, \left[\vphantom{ \frac{\Omega F}{2} \;\; \frac{d_--d_+}{(d_++d_-) \Vert \nabla {\tilde h} \Vert + 1} \;\; \vec{n} }\right. {\frac{\Omega F}{2}} {\frac{d_--d_+}{(d_++d_-) \Vert \nabla {\tilde h} \Vert + 1}} \vec{n}\,$$ =

$$\left.\vphantom{ \frac{}{} + \frac{D}{(d_++d_-) \Vert \nabla {\ti... ...D \left( \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} \right) \vec{s} \; }\right. {\frac{}{}} {\frac{D}{(d_++d_-) \Vert \nabla {\tilde h} \Vert +1}} \left(\vphantom{ \vec{n} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} }\right. \vec{n}\, \vec{\nabla}\, \bar{\cal K} \left.\vphantom{ \vec{n} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} }\right) \vec{n}\, \left(\vphantom{ \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} }\right. \vec{s}\, \vec{\nabla}\, \bar{\cal K} \left.\vphantom{ \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} }\right) \vec{s}\, \left.\vphantom{ \frac{}{} + \frac{D}{(d_++d_-) \Vert \nabla {\ti... ...D \left( \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} \right) \vec{s} \; }\right]$$

où $\tilde{h}$ = h/a - $\Omega$F  t, c'est la hauteur de la surface, exprimée en unité atomique, à laquelle la croissance moyenne a été retranchée.

Dans la limite unilatérale ( d₊ = 0, d_- $\rightarrow$ + $\infty$), elle prend la forme :

$$\partial_{t}^{} \tilde{h} \vec{\nabla}\, \left[\vphantom{ \frac{\Omega F}{2} \frac{\vec{n}}{\Vert \nabla {... ..., \left( \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} \right) \vec{s} \; }\right. {\frac{\Omega F}{2}} {\frac{\vec{n}}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert}} \left(\vphantom{ \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} }\right. \vec{s}\, \vec{\nabla}\, \bar{\cal K} \left.\vphantom{ \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} }\right) \vec{s}\, \left.\vphantom{ \frac{\Omega F}{2} \frac{\vec{n}}{\Vert \nabla {... ..., \left( \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\bar {\cal K}} \right) \vec{s} \; }\right]$$ = (C.111)