Méthode de Newton-Raphson

On cherche à déterminer la solution d'une équation du type :

G(x) = 0  . (D.26)

Considérons un point x₀ voisin de x tel que x = x₀ + $\delta$x. La fonction G peut être développée au voisinage de x₀ :

$$\delta \delta$$ G(x) = (D.27)

= 0  , (D.28)

où J(x₀) est le Jacobien de G en x₀. Partant de x₀ comme conjecture initiale pour la solution de l'équation [], le pas de Newton $\delta$x défini par :

$$\delta$$ (D.29)

est la correction à x₀ qui permet de se rapprocher du zéro x de G. L'opération est alors réitérée jusqu'à convergence. Si la conjecture de solution n'est pas trop éloignée de la solution x elle-même, la méthode de Newton-Raphson conduit à une convergence quadratique.

C'est cette méthode qui a été utilisée pour la résolution des équations d'évolution à une dimension spatiale rencontrées dans la présente thèse. L'algorithme utilisé est bâti autour d'une routine NAG [#!NAG!#] réalisant l'intégration temporelle par schéma BDF à pas variable avec résolution de l'équation implicite par une méthode de type Newton-Raphson.

La méthode de Newton-Raphson ou les méthodes quasi-Newton dérivées de la précédentes sont extrêmement efficaces mais ont le grand inconvénient d'être coûteuses en opérations de calcul. En effet, si N est le nombre de noeuds du réseau donc d'inconnues, elles nécessitent l'inversion d'un jacobien, donc d'une matrice N×N. Cela ne pose pas de problème pour un système unidimensionnel mais devient délicat pour un système à deux dimensions. Si en dimension deux, on désire représenter le système sur une grille numérique de 100 par 100 (ce qui n'est pas excessif), N vaut alors 10 000 et le jacobien à inverser est une matrice à 100 000 000 composantes. Ces méthodes sont alors prohibitives tant au niveau du temps de calcul nécessaire que de la quantité de mémoire qu'elles requièrent pour le stockage des données.

Pour les simulations du méandre avec liberté de phase (problème bidimensionnel), nous avons alors préféré avoir recours à d'autres méthodes.