Prédicteur-correcteur

L'autre méthode que nous avons utilisée pour la résolution du schéma implicite est une méthode « prédicteur-correcteur » . Cela consiste à résoudre l'équation implicite [] par une méthode de point fixe. Dans le cas du schéma de Gear [], on peut reformuler l'équation implicite sous la forme :

$$\bar{G} \left(\vphantom{ f_{n+1} }\right. \left.\vphantom{ f_{n+1} }\right)$$ (D.30)

avec

$$\bar{G} \left(\vphantom{ f_{n+1} }\right. \left.\vphantom{ f_{n+1} }\right) {\textstyle\frac{2}{3}} {\textstyle\frac{4}{3}} {\textstyle\frac{1}{3}}$$ (D.31)

La résolution comporte deux étapes très distinctes. La première consiste à prédire la valeur de f_{n + 1} à partir de celle de f_n à l'aide d'un schéma explicite (on l'appellera « schéma prédicteur » ). Pour les simulations du méandre, nous avons utilisé variablement un prédicteur d'Euler explicite :

f_{n + 1}⁽⁰⁾ = f_n + dt F_n  , (D.32)

d'ordre dt ou un prédicteur d'Adams-Bashforth qui lui est d'ordre deux :

$${\textstyle\frac{3}{2}} {\textstyle\frac{1}{2}}$$ (D.33)

La seconde étape consiste à corriger la prédiction en utilisant le schéma implicite désiré (on le nomme « schéma correcteur » ) reformulé comme problème de point fixe []. On réitère alors le processus jusqu'à convergence :

$$\bar{G} \left(\vphantom{ f_{n+1}^{(0)} }\right. \left.\vphantom{ f_{n+1}^{(0)} }\right)$$ f_{n + 1}⁽¹⁾ =

$$\bar{G} \left(\vphantom{ f_{n+1}^{(1)} }\right. \left.\vphantom{ f_{n+1}^{(1)} }\right)$$ f_{n + 1}⁽²⁾ = ^...

$$\bar{G} \left(\vphantom{ f_{n+1}^{(m)} }\right. \left.\vphantom{ f_{n+1}^{(m)} }\right)$$ f_{n + 1}^{(m + 1)} =

où on a noté les itérations successives par des puissances entre parenthèse. On obtient alors une approximation de la solution de [] à l'ordre $\epsilon$ désiré :

$$\bar{G} \left(\vphantom{ f_{n+1}^{(m+1)} }\right. \left.\vphantom{ f_{n+1}^{(m+1)} }\right) \epsilon$$ (D.34)

Il faut s'assurer de la convergence de la méthode donc du caractère convergent du point fixe. Il est nécessaire pour cela de modifier légèrement la méthode précédente. La modification aura pour but de permettre l'utilisation d'un pas de temps dt variable. Ce paramètre pourra alors être ajusté de façon à rendre le point fixe convergeant.

Pour cela, la méthode à pas multiples, difficile à adapter pour un pas variable est abandonnée au profit d'une « méthode à valeurs multiples » . Cette dernière consiste, au lieu de stocker les valeurs de f aux instants précédents, de stocker, à chaque instant non seulement la valeur de f elle-même mais aussi celle de ses dérivées temporelles. Les valeurs de f et F aux instants précédents sont alors reconstituées par un développement de Taylor autour de l'instant t :

$${\frac{dt^2}{2}}$$ (D.35)

où f_t = F, la dérivé temporelle de f est donnée par l'équation d'évolution et f_tt désignant la dérivée temporelle seconde est calculée par différences finies :

$${\frac{F(t)-F(t-dt)}{dt}}$$ (D.36)

Le « solver » de Gear se récrit alors :

$$\hat{G} \left(\vphantom{ f(t+dt) }\right. \left.\vphantom{ f(t+dt) }\right)$$ (D.37)

avec

$$\hat{G} \left(\vphantom{ f(t+dt) }\right. \left.\vphantom{ f(t+dt) }\right) {\textstyle\frac{2}{3}} {\textstyle\frac{1}{3}} {\textstyle\frac{1}{6}}$$ (D.38)

Et le prédicteur d'Adams-Bashforth prend la forme :

$${\textstyle\frac{1}{2}}$$ (D.39)

On voit alors que pour un pas de temps dt nul, la méthode de résolution par point fixe converge vers f (t). On peut alors ajuster le pas de temps dt en le prenant le plus grand possible tout en conservant au point fixe recherché sont caractère convergeant. C'est là, la méthode que nous avons utilisée lors de l'intégration numérique de l'équation bidimensionnelle du méandre pour résoudre le schéma implicite de Gear.