Éléments finis

La méthode des éléments finis est fondée sur le développement mathématique plus récent de l'analyse fonctionnelle. L'espace C^k des fonctions k fois continûment différentiables n'est pas complet pour la norme de la convergence uniforme. L'idée principale est alors de transposer le problème initial dans un espace de Hilbert approprié. Les plus utilisé sont les espace L² ou les espaces de Sobolev. Dans un tel espace, on dispose alors d'outils mathématiques supplémentaires dans la résolution du problème : théorèmes d'existence et d'unicité des solutions ainsi qu'une évaluation de l'erreur d'approximation au sens de la norme adoptée mais aussi de bases appropriées telles que les bases de Fourier ou les bases de polynômes orthogonaux de Chebyshev ou de Legendre sur lesquelles on pourra développer la fonction recherchée.

Contrairement à la méthode des différences finies, on ne discrétise pas les opérateurs différentiels. La décomposition de la fonction recherchée sur une base connue permet l'utilisation de l'opérateur différentiel continu ; l'approximation se situe alors au niveau du choix de l'espace fonctionnel dans lequel on travaille. Cela a le grand avantage par rapport aux méthodes de différences finies de pouvoir utiliser des grilles numériques non régulières que l'on peut adapter au problème considéré.

L'utilisation de bases orthogonales telles que celles susnommées constitue ce qu'on appelle les « méthodes spectrales » . On peut cependant utiliser le fait que l'espace de Sobolev H¹ est le complété de l'ensemble PC¹ des fonctions continues, continûment différentiables par morceaux. Cela permet, en travaillant dans ce dernier d'utiliser des bases locales de polynômes d'interpolation. C'est ce parti que nous avons pris lors de la simulation du méandre en phase avec une grille adaptative (voir paragraphe ).

La grille numérique est décomposée en éléments finis constitués d'un nombre fixé de points (ou « noeuds » ) de la grille. Pour les simulations du méandre en phase, problème unidimensionnel, nous avons choisi des éléments constitués de 5 points. L'interpolation se fait alors par des polynômes de degré 4 et permet l'évaluation des dérivées jusqu'à l'ordre 4 (la dérivée quatrième est alors représentée par des fonctions constantes par morceaux).

Figure: La grille numérique est décomposée en éléments finis sur lesquels f est interpolée par des polynômes (ici les éléments sont constitués de 5 noeuds).

Sur chaque élément (voir fig. []), la fonction recherchée f est décomposée sur une base locale de polynômes de Lagrange :

$$\sum^{2}_{i=-2}$$ (D.17)

où L_i est le polynôme de Lagrange de degré 4 tel que L_i(x_j) = $\delta_{ij}^{}$. Les dérivées sont alors calculées simplement :

$$\sum^{2}_{i=-2} {\frac{d L_i}{dx}}$$ f'(x) =

$$\sum^{2}_{i=-2} {\frac{d^2 L_i}{dx^2}}$$ f''(x) =

et de même pour les dérivées d'ordre supérieur.