Termes sous-dominants

Dans tous les cas considérés jusqu'à présent, les équations dynamiques donnent naissance à une structure cellulaire dont les cellules sont symétriques non seulement dans la direction x mais aussi dans la direction perpendiculaire z, celle de la direction vicinale. Cependant, les expériences de croissance menées sur des surfaces vicinales de Cu(1, 1, 17) [#!Maroutian99!#] montrent une structure de méandre fortement asymétrique dans la direction vicinale. Des simulations Monté-Carlo effectuées par Pierre-Louis et al. [#!Pierre-Louis99!#] pour des surfaces vicinales en croissance mènent à des résultats similaires : l'instabilité de méandre observée conduit à la formation d'une structure cellulaire asymétrique entre le devant des marches et leur partie arrière. La morphologie n'est pas symétrique sous la transformation z $\rightarrow$ - z.

Les équations d'évolution dynamiques dérivées jusqu'à présent des équations constitutives du modèle microscopiques ont été tronquées à l'ordre dominant en $\epsilon$, le paramètre caractérisant l'écart par rapport au seuil de l'instabilité. Ce paramètre $\epsilon$ est aussi directement proportionnel à la vitesse moyenne du train de marches. Or, à l'ordre dominant, les équations de la dynamique ne font pas apparaître ce paramètre (l'équation adimensionnée de la dynamique ne dépend, à l'ordre dominant que du paramètre $\beta$). Comme mentionné précédemment, l'ordre dominant correspond formellement à la limite $\epsilon$ $\rightarrow$ 0 ; pour prendre en compte l'asymétrie du système par rapport à la direction z, le développement de l'équation d'évolution dynamique doit alors être poursuivi aux ordres supérieurs. Nous nous restreindrons par soucis de simplicité au cas unilatéral.

Le calcul menant à la détermination de la contribution sous-dominante de la dynamique est développé en annexe ; donnons en ici le résultat. L'équation d'évolution du méandre est donnée par :

$$\partial_{t}^{} \zeta \partial_{x}^{} \left[\vphantom{ \frac{\Omega F \ell_{\perp}^2}{2} \partial_x \ze... ...+ \frac{2 \ell_\perp}{\ell} \right) \right) - {\cal M} \partial_s \mu }\right. {\frac{\Omega F \ell_{\perp}^2}{2}} \partial_{x}^{} \zeta \left(\vphantom{ 1 - \frac{\kappa \ell}{3} \left( \frac{\ell}{\ell_\perp} + \frac{2 \ell_\perp}{\ell} \right) }\right. {\frac{\kappa \ell}{3}} \left(\vphantom{ \frac{\ell}{\ell_\perp} + \frac{2 \ell_\perp}{\ell} }\right. {\frac{\ell}{\ell_\perp}} {\frac{2 \ell_\perp}{\ell}} \left.\vphantom{ \frac{\ell}{\ell_\perp} + \frac{2 \ell_\perp}{\ell} }\right) \left.\vphantom{ 1 - \frac{\kappa \ell}{3} \left( \frac{\ell}{\ell_\perp} + \frac{2 \ell_\perp}{\ell} \right) }\right) \cal {M} \partial_{s}^{} \mu \left.\vphantom{ \frac{\Omega F \ell_{\perp}^2}{2} \partial_x \ze... ...+ \frac{2 \ell_\perp}{\ell} \right) \right) - {\cal M} \partial_s \mu }\right]$$ (3.98)

La mobilité effective $\cal {M}$ s'écrit à cet ordre :

$$\cal {M} {\frac{D_S \ell_{\perp} + D_L a}{k_B T}} {\frac{D_S \ell^2 \kappa}{2 k_B T}}$$ (3.99)

À cet ordre, les corrections à la dynamique sont proportionnelles à la courbure^3.8 $\kappa$. À cause de la présence de la courbure, la symétrie z $\rightarrow$ - z est brisée à l'ordre sous-dominant, comme on peut le réaliser en inspectant l'équation []. Cela est visible sur les simulations correspondantes (cf. figure []).

Afin de prendre en compte les termes supplémentaires avec une bonne précision, le schéma numérique précédent à été modifié. Deux méthodes ont été utilisées qui ont conduit aux mêmes résultats. Dans un premier temps, le schéma précédent à été simplement modifié en prenant une « grille numérique » adaptative. En adaptant cette grille numérique aux variations géométriques du méandre on a ainsi une meilleure évaluation des dérivées spatiales. Ces dérivations spatiales se font à l'aide d'une méthode d'éléments finis par interpolation sur des bases locales de polynômes (voir annexe ). Cependant la méthode à grille adaptative, bien que plus précise devient plus coûteuse en temps de calcul. En effet, la réadaptation de la grille ( « remeshing » ) introduit de nouvelles perturbations qu'il faut laisser relaxer. Nous avons donc dans un second temps reformulé complètement les équations dynamiques en utilisant une représentation en coordonnées « intrinsèques » , en terme d'angle polaire $\theta$ et d'abscisse curviligne s comme représenté sur la figure []. Cette reformulation a l'avantage, outre d'une écriture simplifiée des équations dynamiques, de permettre une reparamétrisation dynamique du méandre (voir annexe ). La dépendance temporelle de la paramétrisation permet un « choix de jauge » dans la formulation de la vitesse tangentielle [#!Langer92!#], [#!Csahok99!#]. En utilisant cette représentation « intrinsèque », l'équation de la dynamique se formule de la façon suivante pour la vitesse normale v_n :

$$\partial_{s}^{} \left[\vphantom{ \cos(\theta) \sin(\theta) + \left( \frac{\beta+... ...\frac{2}{3} (\cos(2\theta)+2) \sin(\theta) + \partial_s \kappa \right) }\right. \theta \theta \left(\vphantom{ \frac{\beta+\cos(\theta)}{\beta+1} }\right. {\frac{\beta+\cos(\theta)}{\beta+1}} \left.\vphantom{ \frac{\beta+\cos(\theta)}{\beta+1} }\right) \partial_{s}^{} \kappa \sqrt{\epsilon} \kappa \left(\vphantom{ \frac{2}{3} (\cos(2\theta)+2) \sin(\theta) + \partial_s \kappa }\right. {\textstyle\frac{2}{3}} \theta \theta \partial_{s}^{} \kappa \left.\vphantom{ \frac{2}{3} (\cos(2\theta)+2) \sin(\theta) + \partial_s \kappa }\right) \left.\vphantom{ \cos(\theta) \sin(\theta) + \left( \frac{\beta+... ...\frac{2}{3} (\cos(2\theta)+2) \sin(\theta) + \partial_s \kappa \right) }\right]$$ (3.100)

où, comme précédemment, le temps a été redimensionné par 4/$\Omega$F$\epsilon$ et les variables spatiales x et $\zeta$, par $\ell$$\sqrt{2/\epsilon}$. La dynamique ne dépend alors plus que de deux paramètres adimensionnés : $\beta$ = D_La/D_S$\ell$ qui mesure l'importance de la diffusion de ligne relativement à la diffusion de terrasse et $\epsilon$ qui mesure l'écart par rapport au seuil de l'instabilité.

Figure: Termes sous-dominants. Évolution du méandre correspondant au dépôt d'environ 400/$\epsilon$ monocouches (T = 100). La configuration initiale est une perturbation aléatoire et la taille du système est de cinq fois la longueur d'onde la plus instable. Les différentes courbes représentent le profil du méandre et sont décalées vers le haut avec le temps. Afin de mettre en évidence les effets des termes sous-dominants sur l'asymétrie entre le devant et l'arrière des marches, on a pris $\epsilon$ égal à un.

Figure: Termes sous-dominants. Morphologie des cellules de la structure du méandre obtenues après dépôt de 4000/$\epsilon$ monocouches (T = 1000). Celle-ci dépend radicalement du processus de relaxation mis en jeu. Afin de mettre en évidence les effets des termes sous-dominants sur l'asymétrie entre le devant et l'arrière des marches, on a pris $\epsilon$ égal à un.

L'intégration numérique de cette équation donne des résultats similaires à ceux trouvés à l'ordre dominant : la dynamique donne naissance à une structure cellulaire dont la longueur d'onde caractéristique correspond à celle du mode le plus instable linéairement. De plus, à temps long, la rugosité du méandre suit la même loi d'échelle : w $\sim$ t^1/2. Cependant, la forme des cellules formées diffère qualitativement de celle trouvée en ne retenant que les termes d'ordre dominant : les cellules sont cette fois asymétriques par rapport à la direction z (voir figures [] et []). La forme asymétrique des cellules obtenue lors de nos simulations numériques de l'équation dynamique développée jusqu'à l'ordre sous-dominant ressemble qualitativement bien à celle observée dans les expériences de croissance de surfaces vicinales de cuivre menées par T. Maroutian et al. ainsi qu'à celle obtenue par simulation Monté-Carlo [#!Pierre-Louis99!#].

Figure: Évolution temporelle de la rugosité du méandre. Cette dernière suit une loi de puissance en t^{0, 5}.

Cependant, un problème demeure : la rugosité du méandre croît au court du temps comme t^1/2 (cf. fig.[]) et rien ne semble saturer (du moins dans la présente équation d'évolution) sa croissance. Ce comportement singulier de la rugosité semble robuste car a priori indépendant du processus de relaxation envisagé. Cela implique que la distance entre marches tend vers zéro en certains endroits, là où la pente du méandre devient importante. En effet la distance locale entre marches est :

$$\ell_{\perp}^{} {\frac{\ell}{\left( 1 + \left( \partial_x \zeta \right)^2 \right)^{1/2} }}$$ (3.101)

En se basant sur la séparation de variables (cf éq. [], []), nous avons montré que $\partial_{x}^{}$$\zeta$ $\sim$ t^1/2 dans les zones de forte variation du méandre, situées entre les plateaux. D'après l'éq.(), ceci signifie que la distance locale entre marches $\ell_{\bot}^{}$ $\sim$ $\ell$/|$\partial_{x}^{}$$\zeta$| tend vers zéro dans ces régions. Ce résultat semble a priori pathologique. En effet, lorsque $\ell_{\bot}^{}$ $\rightarrow$ 0, les interactions entre marches -- d'origine élastique ou autre (électronique, entropique, etc.)-- deviennent importantes, et on s'attend à ce qu'elles limitent le resserrement des marches. En incluant les interactions d'origine élastique dans le paragraphe suivant, nous constaterons avec surprise la robustesse de ce resserrement des marches à temps long.