Cas bilatéral

Jusqu'à présent, nous avons supposé le modèle strictement unilatéral ; ce qui correspond à un attachement instantané des adatomes aux marches depuis la terrasse inférieure et à un attachement impossible depuis la terrasse supérieure. Nous nous proposons maintenant d'abandonner cette hypothèse et de prendre en compte un effet Ehrlich-Schwoebel fini. Dans ce régime que nous appellerons « bilatéral », une analyse d'échelle multiple similaire à celle effectuée dans le cas unilatéral peut être faite. À l'ordre dominant, elle conduit à l'équation dynamique suivante pour l'évolution du méandre :

$$\partial_{t}^{} \zeta \partial_{x}^{} \left[\vphantom{ \left( \frac{d_- - d_+}{d_+ + d_- + \ell_\perp} ... ...{\Omega F \ell_\perp^2}{2} \partial_x \zeta - {\cal M} \partial_s \mu }\right. \left(\vphantom{ \frac{d_- - d_+}{d_+ + d_- + \ell_\perp} }\right. {\frac{d_- - d_+}{d_+ + d_- + \ell_\perp}} \left.\vphantom{ \frac{d_- - d_+}{d_+ + d_- + \ell_\perp} }\right) {\frac{\Omega F \ell_\perp^2}{2}} \partial_{x}^{} \zeta \cal {M} \partial_{s}^{} \mu \left.\vphantom{ \left( \frac{d_- - d_+}{d_+ + d_- + \ell_\perp} ... ...{\Omega F \ell_\perp^2}{2} \partial_x \zeta - {\cal M} \partial_s \mu }\right]$$ (3.93)

où la mobilité effective des adatomes s'écrit ici :

$$\cal {M} {\frac{1}{k_B T}} \left[\vphantom{ D_S \frac{\ell^2+\ell_\perp (d_+ + d_-)}{d_+ + d_- +\ell_\perp} + D_L a }\right. {\frac{\ell^2+\ell_\perp (d_+ + d_-)}{d_+ + d_- +\ell_\perp}} \left.\vphantom{ D_S \frac{\ell^2+\ell_\perp (d_+ + d_-)}{d_+ + d_- +\ell_\perp} + D_L a }\right]$$ (3.94)

Bien que cette équation soit qualitativement différente de celle trouvée dans le cas unilatéral (que l'on peut retrouver en prenant la limite
d₊ = 0 et d_- $\rightarrow$ + $\infty$), le comportement dynamique reste très similaire. Comme précédemment, une structure cellulaire prend naissance, conduisant à la formation de doigts allongés. La longueur d'onde de cette structure correspond toujours à celle du mode le plus instable linéairement :

$$\lambda_{m}^{} \pi \left[\vphantom{ \frac{\Gamma \left(D_S \ell + D_L a \right)}{\Omega F \ell^2 f_s} }\right. {\frac{\Gamma \left(D_S \ell + D_L a \right)}{\Omega F \ell^2 f_s}} \left.\vphantom{ \frac{\Gamma \left(D_S \ell + D_L a \right)}{\Omega F \ell^2 f_s} }\right]^{1/2}_{}$$ (3.95)

Comme f_s $\leq$ 1, la structure ici formée dans le cas bilatéral a une longueur d'onde plus grande que dans le cas unilatéral. Comme précédemment aussi, la relaxation par diffusion de ligne forme des structures plus « douces » qu'avec la diffusion de terrasse. À temps long (i.e. pour plus de 400/f_s$\epsilon$ monocouches déposées), la rugosité du méandre suit une loi de puissance avec le même exposant que dans le cas unilatéral : w $\sim$ t^1/2.

Figure: Taille des plateaux en fonction de l'effet Ehrlich-Schwoebel. Les résultats analytiques sont représentés en trait plein, les symboles correspondent aux résultats numériques :  $\bigtriangledown$ se rapportent à la diffusion de terrasse tandis que $\bullet$ concernent la diffusion de ligne.

De plus, aux extrémités des doigts, des plateaux apparaissent et comme précédemment, un calcul analytique permet de relier la taille de ces plateaux avec l'importance de l'effet Ehrlich-Schwoebel. Dans le cas où la diffusion de ligne domine le processus de relaxation ( D_La $\gg$ D_S$\ell$), on a :

$$\lambda_{0}^{} \lambda_{c}^{} \tilde{\delta}$$ (3.96)

où $\lambda_{0}^{}$/2 est la taille des plateaux, $\tilde{\delta}$ = $\ell$/($\ell$ + d₊ + d_-) et I est la même fonction que dans l'équation [].

Dans le cas où la diffusion de terrasse domine les effets de relaxation ( D_La $\ll$ D_S$\ell$), on trouve :

$$\lambda_{0}^{} \lambda_{c}^{} \tilde{\delta}$$ (3.97)

De nouveau, ces résultats analytiques sont en bon accord avec le comportement obtenu numériquement (fig.[]).