Méandre des marches en phase

Dans un premier temps, nous nous restreindrons au cas en phase ce qui, comme nous l'avons vu, constitue a priori une bonne approximation de la dynamique.

Afin de faire explicitement apparaître le petit paramètre $\epsilon$ sur lequel est fondé le développement, nous choisissons de travailler en coordonnées redimensionnées. Ainsi, nous posons : x = $\epsilon^{-1/2}_{}$X, t = $\epsilon^{-2}_{}$T, $\zeta$ = $\epsilon^{-1/2}_{}$H et u = $\epsilon^{1/2}_{}$U ; où les variables écrites en lettres capitales sont d'ordre un. Il est de plus utile de travailler en coordonnées adimensionnées. Les grandeurs spatiales seront exprimées en unités de longueur de terrasse $\ell$ et le temps sera adimensionné par $\ell^{2}_{}$/D. La concentration U obéit alors à un ensemble d'équations dépendant du paramètre $\epsilon$. Proche du seuil de l'instabilité, $\epsilon$ est très petit et en supposant U analytique en $\epsilon^{1/2}_{}$, on peut effectuer un développement de Taylor de cette dernière :

$$\epsilon^{1/2}_{} \epsilon \epsilon^{(3/2)}_{}$$ (3.56)

On développe de même le méandre redimensionné H :

$$\epsilon^{1/2}_{} \epsilon \epsilon^{(3/2)}_{}$$ (3.57)

En prenant en compte les comportements d'échelle des variables spatiales et temporelles ainsi que les développements de U et H, les équations constitutives du modèle peuvent être résolues aux ordres successifs en $\epsilon^{1/2}_{}$.