Modèle BCF

L'étude expérimentale des instabilités morphologiques sur les surfaces vicinales portées hors de l'équilibre thermodynamique a suivi de près le développement des techniques de microscopies électroniques. Ces dernières ont permis d'observer à l'échelle nanométrique, les structures formées ainsi que leur évolution. Cependant, les études théoriques sur les mécanismes de croissance leur sont bien antérieurs. C'est en 1951 que Burton, Cabrera et Frank (BCF) [#!BCF51!#] proposent un modèle semi-continu pour rendre compte des mécanismes physiques ayant lieu sur les surfaces cristallines. La base de leur modèle est une description par couche de la surface, prenant en compte l'existence de défauts géométriques localisés que sont les marches cristallines et les îlots bidimensionnels (voir figure []).

Figure: Représentation schématique d'une surface cristalline montrant les marches cristallines, les îlots ainsi que les macrolacunes bidimensionnelles.

Ils décrivent les molécules adsorbées à la surface du cristal par un modèle continu, à l'aide d'un champ de concentration. Cette approche continue est justifiée par le fait que la distance caractéristique $\ell$ entre les défauts géométriques de la surface et la longueur caractéristique x_s de diffusion des molécules adsorbées ^2.1 sont beaucoup plus grandes que le paramètre de maille a du réseau cristallin. La dynamique de la surface du cristal est ensuite décrite par l'attachement et le détachement de ces molécules aux bord des marches et des îlots.

Les molécules adsorbées peuvent aussi se recombiner avec des lacunes de la surface ou bien entre elles et conduire à la nucléation de nouveaux îlots. Une discussion approfondie de ce point est donnée dans l'ouvrage de J. Villain et A. Pimpinelli [#!Villain95!#].

Pour notre étude, nous considérerons que la surface vicinale, obtenue après coupe du cristal, est parfaite. C'est à dire que nous la décrirons comme une succession régulière de terrasses séparées par des marches monoatomiques droites ^2.2(comme représentée sur la figure []).

Figure: Surface vicinale régulière.

Expérimentalement, une surface vicinale ne possède pas une telle régularité. La coupe du cristal produit un train de marche irrégulier où les terrasses sont jonchées d'îlots et de lacunes. Cependant, ces divers défauts peuvent être en grande partie éliminés après un recuit de la surface et la représentation « idéale » de la surface vicinale que nous prenons comme point de départ de notre modèle s'avère être une bonne représentation de la réalité expérimentale (cf. fig. []).

Figure: Image STM d'une surface vicinale de CdTe après traitement chimique et thermique (D. Martrou, CEA, SP2M/DRFMC, Grenoble).

Lors de la croissance, la surface est soumise à un flux d'atomes. Lorsque les conditions favorables sont réunies ^2.3, la nucléation bidimensionnelle d'îlots sur les terrasses peut être négligée [#!Villain95!#]. Dans ces conditions, les adatomes diffusent sur les terrasses jusqu'à ce qu'ils s'attachent à une marche ou désorbent de la surface. La croissance de la surface se fait alors uniquement par l'avancée des marches ; on parle de régime de croissance « par écoulement de marches » . C'est ce régime de croissance que nous prenons comme base pour notre étude de la dynamique des surfaces vicinales.

Appelons V₀ la vitesse d'avancée des marches dans le régime de croissance de la surface vicinale par « écoulement de marches » . Il est pratique, pour décrire la dynamique du train de marche, de se placer dans un repère mobile, se déplaçant avec le train de marche (c'est à dire dans un repère se déplaçant à la vitesse V₀ par rapport au repère fixe du laboratoire). Les marches sont indexées par la variable m dans le sens descendant de la surface vicinale. Dans le repère mobile, la position de la marche d'indice m, dans le train régulier de marches, est donnée par : z_m = m $\ell$, où $\ell$ est la taille des terrasses.

Figure: Notations utilisées dans le texte pour la représentation du train de marches.

Pour la description de la dynamique, nous supposerons que le profil des marches peut être décrit par une fonction univoque de la variable x. On appellera $\zeta_{m}^{}$(x, t) le profil déformé à l'instant t, de la marche d'indice m, par rapport à sa configuration rectiligne (voir figure []). La position de la marche m dans le repère mobile est alors donnée par : z_m(x, t) = m $\ell$ + $\zeta_{m}^{}$(x, t). La position de cette marche dans le repère fixe du laboratoire est donnée par $\tilde{z}_{m}$ = z_m + V₀ t où t est le temps. On indexe de même les terrasses de telle sorte que la terrasse d'indice m est celle se trouvant devant la marche de même indice.

La surface vicinale est soumise à un flux atomique incident F. Les atomes atterrissent sur les terrasses et s'y adsorbent. Les adatomes (atomes adsorbés) diffusent sur les terrasses avec une constante de diffusion D (nous supposerons la diffusion isotrope sur les terrasses) avant de s'attacher à une marche (et s'incorporer au cristal) ou de désorber de la surface (on appelle $\tau$ le temps caractéristique de résidence des adatomes sur la surface avant désorption. Il est relié à la longueur de diffusion x_s par x_s = $\sqrt{D\,\tau}$.). Ces processus physiques sont schématisés sur la figure [].

Figure: Notations utilisées dans le modèle BCF.

Nous pouvons maintenant passer à la mise en équation du modèle.