Conservation de la masse au niveau des marches

Si la conformation du train de marche est connue, les équations [], [] et [] permettent de déterminer le champ de concentration c_m sur la terrasse m. Malheureusement, la géométrie du train de marches est a priori indéterminée. C'est un problème de frontière libre : la géométrie des marches détermine le champ de concentration sur les terrasses mais la dynamique de ces marches dépend elle-même du champ de concentration d'adatome à la surface ^2.5. Il nous faut donc une équation supplémentaire pour décrire la dynamique de la marche m. Elle nous est donnée par une équation de conservation de la matière au niveau de la marche m, qui traduit que l'avancée de celle-ci est proportionnelle au bilan des flux incidents de matière :

$$\vec{\bf n}\, \vec{\bf V}_{m}^{} \Omega \vec{\bf n}\, \left[\vphantom{ \vec{\bf J}_{m-1}(z_m) - \vec{\bf J}_m(z_m) }\right. \vec{\bf J}_{m-1}^{} \vec{\bf J}_{m}^{} \left.\vphantom{ \vec{\bf J}_{m-1}(z_m) - \vec{\bf J}_m(z_m) }\right] \partial_{s}^{} \bf J_{L}^{}$$ (2.9)

où a est le paramètre de maille du réseau cristallin et $\Omega$ = a²,    s est l'abscisse curviligne le long de la marche et $\partial_{s}^{}$ = $\vec{\bf s}\,$ ^. $\vec{\nabla}\,$ est la dérivation dans la direction tangentielle à la marche $\vec{\bf s}\,$.    $\bf J_{L}^{}$ est un flux de matière provenant de la diffusion le long du bord de marche ( « diffusion de ligne » ) et s'écrit [#!Ihle98!#] :

$$\bf J_{L}^{} \left[\vphantom{ D_L \; \partial_s \left( \Gamma \, \kappa_m \right) }\right. \partial_{s}^{} \left(\vphantom{ \Gamma \, \kappa_m }\right. \Gamma \kappa_{m}^{} \left.\vphantom{ \Gamma \, \kappa_m }\right) \left.\vphantom{ D_L \; \partial_s \left( \Gamma \, \kappa_m \right) }\right]$$ (2.10)

où D_L est le coefficient de diffusion de ligne [#!Mullins57!#], [#!Ihle98!#], $\kappa_{m}^{}$ est la courbure de la marche m, définie positive pour une marche convexe et $\Gamma$ est relié à la rigidité de ligne $\tilde{\gamma}$ par :

$$\Gamma {\frac{\Omega \, {\tilde \gamma}}{k_B \, T}}$$ (2.11)

Les équations [], [], [] et [] décrivent complètement la dynamique du train de marches ^2.6.