Solution stationnaire du train uniforme de marches droites

Déterminons tout d'abord la solution stationnaire du train uniforme de marches droites se déplaçant à la vitesse V₀. Cette solution correspond au régime de croissance « par écoulement de marches » qui nous servira de base pour l'étude de la dynamique de la surface vicinale. Dans ce cas, le problème est unidimensionnel, indépendant de la variable x et $\zeta_{m}^{}$ = 0 ( z_m = m $\ell$). Les équations de conservation de la matière [] et [] se récrivent alors simplement :

$$\partial_{z}^{} \bf J_{m}^{} {\frac{c_m}{\tau}}$$ 0 = (2.12)

et

$$\Omega \left[\vphantom{ {\bf J}_{m-1}(z_m) - {\bf J}_m(z_m) }\right. \bf J_{m-1}^{} \bf J_{m}^{} \left.\vphantom{ {\bf J}_{m-1}(z_m) - {\bf J}_m(z_m) }\right]$$ V₀ = (2.13)

En intégrant l'équation de diffusion (éq. []) sur la terrasse m, on obtient :

$$\bf J_{m}^{} \bf J_{m}^{} {\frac{1}{\tau}} \int_{z_m}^{z_{m+1}} \ell$$ (2.14)

soit $\bf J_{m}^{}$(z_{m + 1}) - $\bf J_{m}^{}$(z_m) = F $\ell$ - ($\ell$/$\tau$) $\langle$c_m$\rangle$, où $\langle$c_m$\rangle$ est la concentration moyenne sur la terrasse. Comme le train de marches est uniforme, on a
$\bf J_{m}^{}$(z_{m + 1}) = $\bf J_{m-1}^{}$(z_m) et $\langle$c_m$\rangle$ = $\langle$c$\rangle$ est indépendant de m. En utilisant l'équation de conservation de la matière au niveau de la marche (éq. []), on détermine la vitesse V₀ du train de marche :

$$\Omega \left(\vphantom{ F - \frac{\langle c \rangle}{\tau} }\right. {\frac{\langle c \rangle}{\tau}} \left.\vphantom{ F - \frac{\langle c \rangle}{\tau} }\right) \ell \Omega \tau \ell$$ (2.15)

où F est le flux de matière arrivant sur la surface, $\langle$c$\rangle$/$\tau$ est le flux de matière s'évaporant de la surface (il est proportionnel à la quantité de matière présente à la surface et inversement proportionnel au temps moyen $\tau$ de résidence des adatomes sur la surface, avant désorption). F_$\tau$ est la fraction du flux incident F participant effectivement à la croissance. La surface vicinale est en croissance pour F_$\tau$ > 0 et en évaporation pour  F_$\tau$ < 0 ; l'équilibre thermodynamique correspondant ici au cas :  F_$\tau$ = 0 (dans ce cas, le flux incident F compense exactement la quantité de matière qui s'évapore).

Lorsque la désorption est négligeable (c'est-à-dire lorsque le temps moyen $\tau$ de résidence des adatomes sur les terrasses, avant désorption est grand), le régime de croissance est dit « conservé » : tous les atomes atterrissant sur les terrasses s'incorporent aux marches et participent à la croissance de la surface. Pour le régime stationnaire de croissance par écoulement de marches, cela a lieu lorsque la fréquence de désorption $\Omega$ $\langle$c$\rangle$/$\tau$ des adatomes de la terrasse est faible devant celle de déposition $\Omega$ F des atomes par le flux incident F : $\Omega$$\langle$c$\rangle$/$\tau$ $\ll$ $\Omega$ F.