Advection et approximation quasi statique

Nous présentons ici une discussion sur les effets de l'advection ainsi que sur l'approximation quasi statique. Il est traditionnellement accepté que durant la croissance par épitaxie et en l'absence d'impuretés, les surfaces vicinales sont stables envers l'instabilité, dite, de mise en paquets des marches. Nous avons, cependant, montré que l'advection des adatomes durant le processus de croissance peut conduire, dans certaines conditions, à une telle instabilité.

Nous nous plaçons dans le cas où la désorption des adatomes des terrasses est négligeable. En croissance, la vitesse moyenne du train de marches obéit à une loi de conservation globale de la matière : V₀ = $\Omega$ F $\ell$ (voir chap. pour les définitions des paramètres). La vitesse de relaxation du champ de concentration, sur les terrasses de taille $\ell$, est de l'ordre de V_r = D/$\ell$. Le rapport de ces deux vitesses définit le nombre adimensionné de Péclet :

$${\frac{V_0 \, \ell}{D}} {\frac{\Omega \, F \, \ell^2}{D}}$$ (A.1)

• Lorsque P $\ll$ 1, le champ de concentration relaxe vers un état stationnaire beaucoup plus vite que les marches n'avancent ; l'approximation quasi statique est alors a priori légitime. On parle dans ce cas de régime diffusif. C'est le cas pour la plupart des systèmes expérimentaux.
• Lorsque P devient grand, le champ de concentration n'a pas le temps de relaxer complètement vers son état stationnaire ; il se produit alors des effets de retard, l'approximation quasi statique n'est plus valable.

Dans la suite, nous montrons que l'approximation quasi statique consiste à négliger, dans la dynamique, les effets d'ordre P².

Pour que le modèle BCF décrit au chapitre soit valable, il faut que la nucléation d'îlots sur les terrasses ne se produise pas, c'est-à-dire que la croissance s'effectue par « écoulement de marches ». Villain et al. ont introduit [#!Villain95!#] une longueur de nucléation $\ell_{N}^{}$. Pour que la nucléation d'îlot sur des terrasses de taille $\ell$ n'ait pas lieu il faut que $\ell$ $\ll$ $\ell_{N}^{}$. Villain et al. ont montré que $\ell_{N}^{}$/a $\sim$ (D/$\Omega^{2}_{}$F)^$\vartheta$, où a est une distance atomique ( $\Omega$ = a²), et $\vartheta$ un coefficient dépendant de nombreux paramètres physiques tels que le coefficient de collage et la stabilité des n-mères d'adatomes... Dans la pratique, $\vartheta$ peut être considéré comme compris entre 1/6 et 1/2 ^A.1. En introduisant le nombre de Péclet P, la condition donnant l'absence de nucléation bidimensionnelle sur les terrasses se traduit par :

$$\ll \left(\vphantom{ \frac{\ell}{a} }\right. {\frac{\ell}{a}} \left.\vphantom{ \frac{\ell}{a} }\right)^{\mbox{\large$\frac{2\vartheta -1}{\vartheta}$} }_{}$$ (A.2)

Pour $\vartheta$ = 1/6 et $\ell$ = 10² a, on trouve que P doit être inférieur à 10^-3. Cela légitime que l'on puisse, dans l'étude de la dynamique négliger les termes en P² (c'est à dire négliger les effets de retard non quasi statique) et donc appliquer l'approximation quasi statique.

Le cas des effets non quasi statiques étant réglé, il nous reste à évaluer l'importance des effets advectifs. Comme vu lors de la mise en équation du modèle de croissance au chapitre , le fait que le train de marche se déplace dans le champ de concentration induit un effet de type advectif^A.2 qui se manifeste sous la forme d'un flux de matière effectif supplémentaire : $\vec{\bf J}\,$ = -  $\vec{\bf V}_{m}^{}$ c_m, où V_m est la vitesse d'avancée de la marche m. Ces effets advectifs sont d'autant plus importants que le nombre de Péclet est grand. Nous montrons dans la suite que ces effets advectifs déstabilisent la surface vicinale et provoquent la mise en paquets des marches. Nous montrons de plus que cette instabilité de mise en paquets des marches peut se produire même à très faible vitesse de croissance (P $\ll$ 1) dès lors que l'effet Ehrlich-Schwoebel est faible. La condition d'apparition de cette instabilité s'écrit alors simplement :

$${\frac{d_--d_+}{d_-+d_+}} \Omega$$ (A.3)

où d_± sont les longueurs Schwoebel, définies au chapitre et c_eq⁰ est la concentration d'équilibre en bord de marche pour un train uniforme de marches droites. Le temps caractéristique de développement de cette instabilité dépend grandement de la cinétique d'attachement mise en jeu. Dans le cas du Silicium (1,1,1), à haute température^A.3, l'instabilité n'est perceptible qu'au-delà de la croissance d'environ 1000 monocouches. L'instabilité observée durant la croissance d'un buffer de Silicium (1, 1, 1) par Berbezier et al. [#!Lapena98!#] révèle une instabilité de mise en paquets des marches dans des conditions de vide poussé. Cette instabilité ne s'est manifestée qu'après un dépôt de matière d'environ 500 nm à 1 $\mu$m d'épaisseur et pourrait correspondre à celle que nous décrivons ici.

Le tableau des différents modes de croissance, dressé par Tsao [#!Tsao93!#], peut alors être complété :

${\frac{}{}}$$\bullet$P $\ll$ PN     et     ${\frac{d_--d_+}{d_-+d_+}}$ > 2 $\Omega$ ceq0	régime diffusif ; croissance par écoulement de marches
${\frac{}{}}$$\bullet$P $\ll$ PN     et     ${\frac{d_--d_+}{d_-+d_+}}$ < 2 $\Omega$ ceq0	régime advectif ; croissance par écoulement de marches
${\frac{}{}}$$\bullet$P $\sim$ PN	nucléation et croissance 2D
${\frac{}{}}$$\bullet$P $\gg$ PN	croissance 3D

Dans la suite nous étudions dans le détail l'effet des termes non quasi statique et advectifs. Le point de départ de cette étude est une analyse linéaire de stabilité du train de marches en croissance qui nous permet d'identifier les différents régimes d'instabilité. Le régime non linéaire correspondant à l'instabilité de mise en paquets des marches induites par advection est tout d'abord étudié en intégrant numériquement les équations discrètes du modèle à l'aide d'une fonction de Green appropriée (fonction de Green spatio-temporelle permettant d'inclure les effets non quasi statiques). Enfin, nous avons extrait des équations discrètes du modèle, l'équation non linéaire continue pertinente traduisant la dynamique de cette instabilité de mise en paquets des marches induite par advection.