Échelles caractéristiques

Figure: Taux de croissance de la perturbation en fonction de q et $\phi$. Les modes instables (i.e. actifs lors du développement de l'instabilité) sont ceux pour lesquels $\Re$e($\omega$) > 0 et sont représentés en blanc sur la figure. M est le mode le plus instable. Les modes actifs se trouvent dans un voisinage de M(q = q_m,$\phi$ = 0), d'extension $\Delta$$\phi$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$ et $\Delta$q $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$. Cela permettra de déterminer les échelles spatiales caractéristiques du méandre.

Les modes actifs de l'instabilité sont ceux pour lesquels $\Re$e($\omega$) > 0 ; ils sont représentés en blanc sur la figure []. Pour ces modes, on a q$\ell$ $\sim$ q_c$\ell$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$ et ainsi, les échelles de longueurs intéressantes pour la dynamique sont celles pour lesquelles :

$$\sim \ell \epsilon^{-1/2}_{}$$ (3.27)

Le temps caractéristique de développement de l'instabilité est donné par le mode le plus instable (donc celui qui se développe le plus vite) :

$$\sim \pi {\frac{16 \, \ell^4}{\Gamma (D_S\ell+D_La) }} \epsilon^{-2}_{}$$ (3.28)

Ce temps est obtenu à partir de la relation t_m = 2$\pi$/$\Re$e[$\omega$(q = q_m,$\phi$ = 0)], où (q_m, 0) est le mode le plus instable. q_m est relié au nombre d'onde de coupure par q_m = q_c/$\sqrt{2}$. La relation [] fournit le comportement d'échelle de la variable temporelle : t $\sim$ $\epsilon^{-2}_{}$.

En utilisant les données expérimentales précédentes, on trouve que l'instabilité de méandre se développe après une croissance d'environ 2500 monocouches ^3.4.

Avant d'aller plus loin, il est important d'analyser brièvement le cas du train de marches asynchrone. L'effet Ehrlich-Schwoebel n'induit pas seulement une instabilité morphologique du profil des marches mais conduit aussi à une répulsion diffusive entre marches. Cette répulsion dynamique force les marches à évoluer en phase. Le temps t_$\phi$, nécessaire aux marches pour s'organiser en phase dans le train de marches instable s'obtient facilement à partir du temps caractéristique de synchronisation du mode le plus instable. Il est déterminé à partir de la relation de dispersion linéaire comme suit (c'est le préfacteur du terme en $\phi^{2}_{}$ dans la partie réelle de $\omega$) :

$${\frac{1}{t_\phi}} \sim \left.\vphantom{ \partial_{\phi \phi} \Re e \left[ \omega(q,\phi) \right] \frac{}{} }\right. \partial_{\phi \phi}^{} \Re \left[\vphantom{ \omega(q,\phi) }\right. \omega \phi \left.\vphantom{ \omega(q,\phi) }\right] {\frac{}{}} \left.\vphantom{ \partial_{\phi \phi} \Re e \left[ \omega(q,\phi) \right] \frac{}{} }\right\vert _{(q=q_m,\phi=0)}^{}$$ (3.30)

Ce temps correspond à celui de disparition d'une perturbation de la phase correspondant à un déphasage d'une valeur de l'ordre de l'unité. Pour évaluer l'importance du déphasage dans la dynamique, ce temps doit être comparé au temps typique de développement de l'instabilité t_m :

$${\frac{t_\phi}{t_m}} \sim \epsilon \left(\vphantom{ \frac{(\ell+d_++d_-)(D_S \ell + D_L a)}{D_S \ell (d_-+d_++\ell/2) + D_L a (d_-+d_+)} }\right. {\frac{(\ell+d_++d_-)(D_S \ell + D_L a)}{D_S \ell (d_-+d_++\ell/2) + D_L a (d_-+d_+)}} \left.\vphantom{ \frac{(\ell+d_++d_-)(D_S \ell + D_L a)}{D_S \ell (d_-+d_++\ell/2) + D_L a (d_-+d_+)} }\right)$$ (3.31)

Dans la limite unilatérale (d₊ = 0 et d_- = + $\infty$), on a t_$\phi$/t_m $\sim$ $\epsilon$. Proche du seuil de l'instabilité, le temps de synchronisation des marches est donc très court devant celui de développement de l'instabilité. Cela signifie que les marches se synchronisent dès les premiers temps de l'instabilité ; les modes de fort déphasage disparaissent et seuls subsistent ceux proche du mode en phase ( $\phi$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$).

L'instabilité se développe donc pour un train de marches quasiment en phase. Cela justifie que l'on considère, pour l'étude de l'instabilité, les petits déphasages (voire même le cas en phase).

Pour de petits déphasages $\phi$, on a :

$$\Re \omega \ll \phi \ll {\frac{\Omega F}{2}} {\frac{d_--d_+}{\ell+d_++d_-}} \left(\vphantom{ (q\ell)^2 - \frac{d_++d_-}{\ell+d_++d_-} \phi^2 }\right. \ell {\frac{d_++d_-}{\ell+d_++d_-}} \phi^{2}_{} \left.\vphantom{ (q\ell)^2 - \frac{d_++d_-}{\ell+d_++d_-} \phi^2 }\right)$$ =

$$\left(\vphantom{ (D_S\ell+D_La)q^2 + \frac{D_S}{\ell+d_++d_-} \phi^2 }\right. \ell {\frac{D_S}{\ell+d_++d_-}} \phi^{2}_{} \left.\vphantom{ (D_S\ell+D_La)q^2 + \frac{D_S}{\ell+d_++d_-} \phi^2 }\right) \Gamma$$

Cette relation de dispersion est représentée sur la figure []. Le domaine des modes actifs est délimité par $\Re$e($\omega$) = 0. On en déduit que les modes actifs sont ceux pour lesquels q $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$ et $\phi$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$. Le déphasage du train de marches est du même ordre que la modulation spatiale. Cela implique, pour la variable conjuguée m représentant la position d'une marche sur la surface, la loi d'échelle suivante : m $\sim$ $\epsilon^{-1/2}_{}$. Cela signifie que la modulation de phase du train de marches n'est perceptible que sur un nombre de marches de l'ordre de $\epsilon^{-1/2}_{}$, donc sur des distances de l'ordre de $\epsilon^{-1/2}_{}$ $\ell$ dans la direction z de la vicinalité. Proche du seuil de l'instabilité, le déphasage entre marches peut donc être a priori négligé si l'on étudie la dynamique à relativement courte échelle le long de la direction vicinale (i.e. sur des échelles de longueur $\ll$ $\ell$/$\epsilon^{1/2}_{}$).

En résumé, nous avons les lois d'échelle suivantes dans l'espace de Fourier :

$$\sim \epsilon^{1/2}_{} \omega \sim \epsilon^{2}_{} \phi \sim \epsilon^{1/2}_{}$$ (3.32)

et leur correspondance dans l'espace réel pour les variables conjuguées :

$$\sim \epsilon^{-1/2}_{} \sim \epsilon^{-2}_{} \sim \epsilon^{-1/2}_{}$$ (3.33)

Par-delà le problème de stabilité, la dynamique de la surface met en jeu des effets propagatifs liés au fait que les marches se déplacent et défilent le long de la surface. Ceux-ci s'expriment dans la partie imaginaire de $\omega$. L'étude de la partie imaginaire de la relation de dispersion, dans la limite des grandes longueurs d'onde et petits déphasages montre que celle-ci se comporte comme $\epsilon^{3/2}_{}$. Cela définit une échelle de temps rapide $\tau$ $\sim$ $\epsilon^{-3/2}_{}$ sur laquelle se produisent les effets propagatifs (rappelons que le développement de l'instabilité se fait sur une échelle de temps plus lente $\tau$ $\sim$ $\epsilon^{-2}_{}$). Dans un premier temps, nous nous focaliserons sur le cas en phase pour lequel les effets propagatifs disparaissent (la partie imaginaire de $\omega$ est nulle dans ce cas) ; la dynamique est alors simplifiée et ne se fait plus que sur une seule échelle de temps, celle donnée par la partie réelle de $\omega$ : $\tau$ $\sim$ $\epsilon^{-2}_{}$. Le cas plus délicat où la contrainte de synchronisation des marches est relaxée et où la dynamique du système s'effectue sur deux échelles de temps caractéristiques sera examiné ultérieurement au paragraphe .