Méandre avec liberté de phase

Nous avons vu, en étudiant la relation de dispersion linéaire [] que le mode le plus rapide à se développer est un mode en phase. C'est ce mode qui influence le plus grandement la dynamique lors du développement de l'instabilité.

Nous avons aussi vu que, proche du seuil de l'instabilité, les modes actifs (ceux pour lesquels $\Re$e($\omega$) > 0) se trouvent dans un voisinage du mode le plus instable M(q = q_m,$\phi$ = 0), d'extension $\Delta$q $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$, $\Delta$$\phi$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$ (voir figure []).

Figure: Taux de croissance de la perturbation en fonction de q et $\phi$. Les modes instables (i.e. actifs lors du développement de l'instabilité) sont ceux pour lesquels $\Re$e($\omega$) > 0 et sont représentés en blanc sur la figure.

Nous avons de plus constaté que la synchronisation (c'est-à-dire la disparition des modes de fort déphasage) du train de marche s'effectue très rapidement. Proche du seuil de l'instabilité, nous avons t_$\phi$ $\sim$ $\epsilon$ t_m, où t_$\phi$ est le temps caractéristique de synchronisation du train de marches et t_m le temps caractéristique de développement de l'instabilité. Cela signifie que lors du développement de l'instabilité, seuls sont actifs les modes de faibles déphasages ( $\phi$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$), se trouvant au voisinage du mode le plus instable M.

Jusqu'à présent, nous avons fait l'hypothèse que la dynamique du méandre se fait en phase. Cela constitue a priori une bonne approximation de la dynamique de la surface sur des échelles $\bar{\ell}$ $\ll$ $\ell$/$\epsilon^{1/2}_{}$ le long de la direction vicinale. Cependant, l'étude de la dynamique de la surface vicinale à grande échelle nécessite de prendre en compte l'existence d'une distribution de phase dans les modes actifs de l'instabilité (i.e. de prendre en compte l'existence d'un déphasage entre marches qui bien que faible entre marches adjacentes ( $\phi$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$) devient d'ordre 1 à grande distance $\bar{\ell}$ $\sim$ $\ell$/$\epsilon^{1/2}_{}$).

Dans ce paragraphe, nous nous proposons d'étudier la dynamique de la surface vicinale lorsque la contrainte de synchronisme du train de marches est relaxée ; c'est-à-dire lorsque l'on accorde au méandre, une liberté de phase. Comme dans le cas en phase, on peut, proche du seuil de l'instabilité, dériver des équations microscopiques du modèle BCF, l'équation d'évolution pertinente décrivant la dynamique de la surface. Le calcul reste similaire au cas en phase si ce n'est que l'existence d'un déphasage entre marches introduit, comme nous l'avons évoqué page , une échelle de temps supplémentaire associée à la partie imaginaire de la pulsation $\omega$ et qui décrit la propagation de la perturbation dans le train de marches.

Afin de prendre en compte le déphasage $\phi$ entre marches, nous introduisons l'opérateur $\delta$ de différence finie, défini, pour une fonction f_m dépendant de l'indice des marches m, par :

$$\delta$$ (3.111)

Cet opérateur est du même ordre, $\epsilon^{1/2}_{}$, que le déphasage $\phi$. La distance selon z, $\ell_{m}^{}$ entre la marche m et la marche m + 1 s'écrit alors :

$$\ell_{m}^{} \ell \zeta_{m+1}^{} \zeta_{m}^{} \ell \delta \zeta_{m}^{}$$ (3.112)

Le détail des calculs est relégué en annexe et conduit à l'équation dynamique suivante pour le méandre de la marche m :

$$\partial_{t}^{} \zeta_{m}^{} \partial_{x}^{} \delta \Omega \delta \left[\vphantom{ z_m - \frac{\ell_m}{2} }\right. {\frac{\ell_m}{2}} \left.\vphantom{ z_m - \frac{\ell_m}{2} }\right]$$ (3.113)

avec

$${\frac{\ell_m}{s_m}} \left(\vphantom{ \frac{ \partial_x \zeta_m}{(d_++d_-) + \ell_m/s_m} }\right. {\frac{\partial_x \zeta_m}{(d_++d_-) + \ell_m/s_m}} \left.\vphantom{ \frac{ \partial_x \zeta_m}{(d_++d_-) + \ell_m/s_m} }\right) \left[\vphantom{ \frac{d_--d_+}{2} \Omega F \frac{\ell_m}{s_m} + ... ...c{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\hat \kappa}_m \right) }\right. {\frac{d_--d_+}{2}} \Omega {\frac{\ell_m}{s_m}} \left(\vphantom{ \delta {\hat \kappa}_m - \frac{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\hat \kappa}_m }\right. \delta \hat{\kappa}_{m} {\frac{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2}} \partial_{x}^{} \hat{\kappa}_{m} \left.\vphantom{ \delta {\hat \kappa}_m - \frac{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\hat \kappa}_m }\right) \left.\vphantom{ \frac{d_--d_+}{2} \Omega F \frac{\ell_m}{s_m} + ... ...c{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\hat \kappa}_m \right) }\right]$$ J_m =

$${\frac{\ell_m}{s_m^2}} \partial_{x}^{} \hat{\kappa}_{m}$$ (3.114)

$$\left(\vphantom{ \frac{s_m}{(d_++d_-) + \ell_m/s_m} }\right. {\frac{s_m}{(d_++d_-) + \ell_m/s_m}} \left.\vphantom{ \frac{s_m}{(d_++d_-) + \ell_m/s_m} }\right) \left[\vphantom{ \frac{d_--d_+}{2} \Omega F \frac{\ell_m}{s_m} + ... ...c{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\hat \kappa}_m \right) }\right. {\frac{d_--d_+}{2}} \Omega {\frac{\ell_m}{s_m}} \left(\vphantom{ \delta {\hat \kappa}_m - \frac{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\hat \kappa}_m }\right. \delta \hat{\kappa}_{m} {\frac{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2}} \partial_{x}^{} \hat{\kappa}_{m} \left.\vphantom{ \delta {\hat \kappa}_m - \frac{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\hat \kappa}_m }\right) \left.\vphantom{ \frac{d_--d_+}{2} \Omega F \frac{\ell_m}{s_m} + ... ...c{\ell_m \partial_x \zeta_m}{s_m^2} \partial_x {\hat \kappa}_m \right) }\right]$$ G_m = (3.115)

où $\hat{\kappa}_{m}$ = $\Gamma$ $\kappa_{m}^{}$  , $\kappa_{m}^{}$ étant la courbure du méandre $\zeta_{m}^{}$, et s_m = (1 + ($\partial_{x}^{}$$\zeta_{m}^{}$)²)^1/2.

L'approximation « en phase » se retrouve à partir de l'équation [] en prenant formellement $\delta$ = 0.

Nous avons obtenu l'équation dynamique pour la marche m. Cette équation est couplée avec celle de la marche m + 1 et de proche en proche, avec toutes les marches de la surface ^3.10. La description de la dynamique de la surface reste, à ce stade, discrète : elle se fait par la description de la dynamique de chacune des marches qui la compose. Ce que nous désirons, c'est une description continue, à grande échelle de la surface. Une telle description continue peut être obtenue en poursuivant le développement analytique. Le détail des calculs figure en annexe ; donnons-en ici quelques lignes directrices.

Considérons que la surface peut être représentée dans le repère fixe du laboratoire par une équation de la forme :

f (x, y, z, t) = 0  . (3.116)

Alors, la représentation de la surface au moyen des marches (appelons la « représentation discrète » ) s'écrit :

$$\tilde{z}_{m}$$ (3.117)

avec $\tilde{z}_{m}$ = V₀t + m$\ell$ + $\zeta_{m}^{}$(x, t) ; y = - ma (où a est une longueur atomique) étant la hauteur de la surface au niveau de la marche m.

Nous pouvons aussi choisir une représentation continue de la surface au moyen d'une fonction h de x et z qui représente la hauteur de la surface en (x, z). Nous avons alors :

f (x, y, z, t) = 0 = y - h(x, z, t)  . (3.118)

À z = $\tilde{z}_{m}$(x, t) et y = - ma (c'est-à-dire, le long d'une marche), nous avons la correspondance suivante entre les deux représentations :

$$\ell \zeta_{m}^{}$$ (3.119)

En utilisant cette « équation maîtresse » , nous serons capable de traduire l'ensemble des équations [] dynamiques de la représentation discrète en une équation d'évolution continue.

L'équation dynamique pertinente décrivant la dynamique à grande échelle de la surface vicinale prend la forme suivante pour la hauteur de la surface :

$$\partial_{t}^{} \tilde{h} \vec{\nabla}\, \left[\vphantom{ \frac{\Omega F}{2} \;\; \frac{d_--d_+}{(d_++d_-) \Vert \nabla {\tilde h} \Vert + 1} \;\; \vec{n} }\right. {\frac{\Omega F}{2}} {\frac{d_--d_+}{(d_++d_-) \Vert \nabla {\tilde h} \Vert + 1}} \vec{n}\,$$ =

$$\left.\vphantom{ \frac{}{} + \frac{D_S}{(d_++d_-) \Vert \nabla {\... ...S \left( \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\hat {\cal K}} \right) \vec{s} \; }\right. {\frac{}{}} {\frac{D_S}{(d_++d_-) \Vert \nabla {\tilde h} \Vert +1}} \left(\vphantom{ \vec{n} \cdot \vec{\nabla} {\hat {\cal K}} }\right. \vec{n}\, \vec{\nabla}\, \hat{\cal K} \left.\vphantom{ \vec{n} \cdot \vec{\nabla} {\hat {\cal K}} }\right) \vec{n}\, \left(\vphantom{ \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\hat {\cal K}} }\right. \vec{s}\, \vec{\nabla}\, \hat{\cal K} \left.\vphantom{ \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\hat {\cal K}} }\right) \vec{s}\, \left.\vphantom{ \frac{}{} + \frac{D_S}{(d_++d_-) \Vert \nabla {\... ...S \left( \vec{s} \cdot \vec{\nabla} {\hat {\cal K}} \right) \vec{s} \; }\right]$$

où $\tilde{h}$ = h/a - $\Omega$F  t, c'est la hauteur de la surface, exprimée en unité atomique, à laquelle la croissance moyenne a été retranchée. Nous avons défini $\hat{\cal K}$ = $\Gamma$ $\cal {K}$, où

$$\cal {K} {\frac{(\partial_z {\tilde h})^2 \, \partial_x^2 {\tilde h} - 2 \... ...partial_x {\tilde h})^2 \, \partial_z^2 {\tilde h} }{\Vert {\tilde h} \Vert^3}}$$ (3.120)

est la courbure d'une ligne de niveau (donnée par $\tilde{h}$ = cte) de la surface. c'est l'équivalent, dans la représentation continue, de la courbure des marches.

Les vecteurs $\vec{n}\,$ et $\vec{s}\,$ sont définis par :

$$\vec{n}\, {\frac{-1}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert}} \left(\vphantom{ \begin{array}{c} \partial_x {\tilde h} \\ \partial_z {\tilde h} \end{array} }\right. \begin{array}{c} \partial_x {\tilde h} \\ \partial_z {\tilde h} \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{c} \partial_x {\tilde h} \\ \partial_z {\tilde h} \end{array} }\right)$$ = (3.121)

$$\vec{s}\, {\frac{1}{\Vert \nabla {\tilde h} \Vert}} \left(\vphantom{ \begin{array}{c} -\partial_z {\tilde h} \\ \partial_x {\tilde h} \end{array} }\right. \begin{array}{c} -\partial_z {\tilde h} \\ \partial_x {\tilde h} \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{c} -\partial_z {\tilde h} \\ \partial_x {\tilde h} \end{array} }\right)$$ = (3.122)

Ce sont, dans le plan (x, z), les vecteurs normaux et tangents d'une ligne de niveau ( $\tilde{h}$ =cte) de la surface. Ce sont les équivalents pour la surface des vecteurs normaux et tangents aux marches.

En faisant intervenir le potentiel chimique $\mu$ = k_BT $\Gamma$ $\cal {K}$, l'équation de la surface [] se récrit simplement :

$$\partial_{t}^{} \tilde{h} \vec{\nabla}\, \left[\vphantom{ \frac{\Omega F}{2} \;\; \frac{d_--d_+}{(d_++d_-)... ...a} \; \mbox{\large$\overline{\cal M}$} \cdot \vec{\nabla}_{s,n} \mu \, }\right. {\frac{\Omega F}{2}} {\frac{d_--d_+}{(d_++d_-) \Vert \nabla {\tilde h} \Vert + 1}} \vec{n}\, {\frac{1}{a}} \mbox{\large$\overline{\cal M}$} \vec{\nabla}_{s,n}^{} \mu \left.\vphantom{ \frac{\Omega F}{2} \;\; \frac{d_--d_+}{(d_++d_-)... ...a} \; \mbox{\large$\overline{\cal M}$} \cdot \vec{\nabla}_{s,n} \mu \, }\right]$$ = (3.123)

où $\vec{\nabla}_{s,n}^{}$$\mu$ est le gradient du potentiel chimique, exprimé dans la base locale formée par les vecteurs tangent $\vec{s}\,$ et normal $\vec{n}\,$ :

$$\vec{\nabla}_{s,n}^{} \mu \left(\vphantom{ \begin{array}{c} \partial \mu / \partial s \\ \partial \mu / \partial n \end{array} }\right. \begin{array}{c} \partial \mu / \partial s \\ \partial \mu / \partial n \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{c} \partial \mu / \partial s \\ \partial \mu / \partial n \end{array} }\right)_{s,n}^{}$$ =

$$\vec{s}\, \vec{\nabla}\, \mu \vec{s}\, \vec{n}\, \vec{\nabla}\, \mu \vec{n}\,$$ = (3.124)

et $\overline{\cal M}$ est la mobilité macroscopique. Elle s'exprime matriciellement sur la base ($\vec{s}\,$,$\vec{n}\,$) comme :

$$\mbox{\large$\overline{\cal M}$} \left(\vphantom{ \begin{array}{cc} \left(\frac{D_S \, a}{k_B T}\r... ...\frac{1}{(d_++d_-)\Vert \nabla {\tilde h} \Vert +1}\right) \end{array} }\right. \begin{array}{cc} \left(\frac{D_S \, a}{k_B T}\right) & 0 \\ 0 &... ...!\!\left(\frac{1}{(d_++d_-)\Vert \nabla {\tilde h} \Vert +1}\right) \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{cc} \left(\frac{D_S \, a}{k_B T}\r... ...\frac{1}{(d_++d_-)\Vert \nabla {\tilde h} \Vert +1}\right) \end{array} }\right)$$ (3.125)

Comme dans le cas en phase, le développement de l'équation d'évolution de la surface peut être poursuivi à l'ordre supérieur. Le calcul a été effectué dans la limite unilatérale ( d₊ = 0, d_- $\rightarrow$ + $\infty$) et l'équation dynamique de la surface, incluant les termes sous-dominants est présentée en annexe . Cela nous a permis d'identifier, dans la limite unilatérale, la contribution d'ordre supérieur à la mobilité effective $\overline{\cal M}$ :

$$\mbox{\large$\overline{\cal M}$} \left(\vphantom{ \begin{array}{cc} \left(\frac{D_S \, a}{k_B T}\r... ... \, \Vert \nabla {\tilde h} \Vert^2} \right) & 0 \\ 0 & 0 \end{array} }\right. \begin{array}{cc} \left(\frac{D_S \, a}{k_B T}\right)\!\!\left( 1... ...lde h}}{2 \, \Vert \nabla {\tilde h} \Vert^2} \right) & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \left.\vphantom{ \begin{array}{cc} \left(\frac{D_S \, a}{k_B T}\r... ... \, \Vert \nabla {\tilde h} \Vert^2} \right) & 0 \\ 0 & 0 \end{array} }\right)$$ (3.126)