Résultats numériques

Les simulations numériques ont été effectuées avec les méthodes numériques décrites en annexe . La limite unilatérale ( d₊ = 0, d_- $\rightarrow$ + $\infty$) posant des problèmes de stabilité numérique, nous avons travaillé avec un effet Ehrlich-Schwoebel fini : d₊ = $\ell$ et d_- = 10 $\ell$.

La figure [] présente une simulation réalisée sur un système de taille . La surface est initialement perturbée aléatoirement. On voit se développer au cours du temps une structure en sillons, résultat pour la surface des méandres que forment les marches (voir figure []).

Figure: Les méandres quasiment en phase des marches forment, pour la surface, une succession de sillons et de bosses.

La longueur d'onde de cette structure correspond à celle du mode le plus instable linéairement :

$$\lambda_{m}^{} \pi \left[\vphantom{ \frac{\Gamma D_S}{\Omega F \ell \, f_s} }\right. {\frac{\Gamma D_S}{\Omega F \ell \, f_s}} \left.\vphantom{ \frac{\Gamma D_S}{\Omega F \ell \, f_s} }\right]^{1/2}_{}$$ (3.127)

t = tm/12  |  $\Delta$h = 6×10-4	t = tm/4  |  $\Delta$h = 9×10-4
t = tm/2  |  $\Delta$h = 2, 4×10-3	t = tm  |  $\Delta$h = 3, 6×10-2
t = 2 tm  |  $\Delta$h = 4, 8	t = 4 tm  |  $\Delta$h = 12

Figure: Simulation de l'équation bidimensionnelle du méandre avec liberté de phase, après une perturbation initiale aléatoire. L'axe vertical représente la direction z, celle de la vicinalité ; l'axe horizontal est orienté selon x. La hauteur de la surface, à laquelle la pente moyenne a été retranchée, est représentée en dégradé de couleurs. L'amplitude maximum de la surface, $\Delta$h, est reportée sur chaque figure. La simulation a été effectuée sur un système de taille 6 $\lambda_{m}^{}$×6 $\lambda_{m}^{}$. t_m est le temps caractéristique de développement de l'instabilité.

Sur des systèmes de relativement petite taille (comme présenté fig. []), la structure en sillons est régulière. On voit au cours du temps, le méandre se mettre en phase. Une légère sinuosité de la structure dans la direction z de la vicinalité révèle tout de même la présence d'un léger déphasage entre marche, d'une liberté de phase.

Cependant, sur des systèmes de taille plus grande, des défauts localisés peuvent apparaître. La figure [] présente une simulation réalisée sur un système de taille dans la direction z de la vicinalité. La surface s'organise alors en sillons mais des défauts topologiques apparaissent dans la structure. Aucune des simulations menées à temps long n'a donné de signe de disparition de ces défauts d'organisation.

Ces images sont à comparer avec les images STM (voir fig. []) de surfaces vicinales de Cu(1, 1, 17) en croissance, obtenues par Maroutian et al.

Figure: Image par STM de l'instabilité de méandre des marches observée sur le Cuivre (1,1,17) (T. Maroutian, CEA/Saclay).

Les auteurs observent lors de leurs expériences de croissance sur des surfaces de Cu(1, 1, 17), la formation de sillons présentant des branchements. À temps plus long, ces points de branchement sont le lieu d'apparition de monticules. Il serait intéressant de poursuivre nos investigations numériques afin de déterminer si l'apparition de ces monticules est le signe d'une instabilité secondaire de la surface.

t = tm/24  |  $\Delta$h = 6×10-4	t = tm/4  |  $\Delta$h = 9×10-4
t = tm/2  |  $\Delta$h = 3×10-3	t = tm  |  $\Delta$h = 4×10-2
t = 2 tm  |  $\Delta$h = 4, 5	t = 4 tm  |  $\Delta$h = 16

Figure: Simulation de l'équation bidimensionnelle du méandre avec liberté de phase, après une perturbation initiale aléatoire (comme présenté fig. []). La simulation a été, cette fois ci, effectuée sur un système de taille 8 $\lambda_{m}^{}$ dans la direction x et 6 $\lambda_{m}^{}$ dans la direction de la pente vicinale z.

Un autre résultat important concerne le comportement temporel de la rugosité de la surface. Nous avons vu au paragraphe précédent que la rugosité du méandre en phase a un comportement pathologique ; elle suit une loi de puissance en t^1/2 qui ne semble pas vouloir s'arrêter. La conséquence première est que les marches se rapprochent inexorablement dans les zones où le méandre présente de fortes pentes. La prise en compte de divers processus de relaxation ainsi que des interactions élastiques entre marches ne change rien à ce comportement apparemment robuste.

Les simulations numériques effectuées pour la dynamique de la surface - lorsqu'une liberté de phase entre marches est permise - montrent des résultats qualitativement différents (voir figure []).

Figure: Évolution de la rugosité de la surface au cours du temps. Les courbes en traits fins sont obtenues pour le méandre en phase. Les courbes en trait gras représentent la rugosité de la surface dans le cas où la contrainte de synchronisme des marches est relaxée. Les simulations ont été effectuées sur des système de taille 3 $\lambda_{m}^{}$ dans la direction x, en faisant varier le pas dx (dx est relié au nombre de noeuds du réseau n par dx = 3 $\lambda_{m}^{}$/n) du réseau numérique.

Dans toutes les simulations effectuées, nous observons une saturation à temps long de la rugosité du méandre.

Lors de ces simulations, nous avons fait varier les paramètres numériques (comme le pas dx du réseau) afin de vérifier la consistance du schéma numérique utilisé. Ces résultats sont comparés avec des simulations équivalentes (même pas dx) du méandre en phase. Les résultats sont reportés figure [].

Le comportement en temps de la rugosité est qualitativement différent entre les cas en phase et les cas où une liberté de phase est permise.

Ces résultats sont encore préliminaires mais s'ils se confirment, ils tendraient à montrer que le comportement pathologique en t^1/2 de la rugosité est une conséquence de la contrainte de synchronisme des marches.