Dynamique à l'ordre dominant

L'équation dynamique des marches est obtenue, à l'ordre dominant, en développant l'équation [] jusqu'à l'ordre $\epsilon^{2}_{}$. On fera pour cela usage des lois d'échelle obtenues à partir de l'étude linéaire : $\partial_{t}^{}$ $\sim$ $\epsilon^{2}_{}$ et $\delta$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$.

Nous introduisons $\zeta_{m}^{}$, la perturbation de la position de la marche m, définie par $\zeta_{m}^{}$ = z_m - m où z_m est la position de la marche m. Pour le déroulement des calculs, nous supposerons que le comportement d'échelle de $\zeta$ est a priori régulier ; c'est-à-dire $\zeta$ $\sim$ $\epsilon^{\vartheta}_{}$ avec $\vartheta$ $\geq$ 0. Cette hypothèse sera vérifiée de façon consistante par la suite. En utilisant la définition de l'opérateur $\delta$, on a :

$$\ell_{m}^{} \delta \zeta_{m}^{}$$ = (4.48)

$$\cal {A} \cal {A} \delta \left(\vphantom{\frac{1}{\ell_m^3} }\right. {\frac{1}{\ell_m^3}} \left.\vphantom{\frac{1}{\ell_m^3} }\right) \cal {A} \delta \left[\vphantom{ \left( 1 + \delta \zeta_m \right)^{-3} }\right. \left(\vphantom{ 1 + \delta \zeta_m }\right. \delta \zeta_{m}^{} \left.\vphantom{ 1 + \delta \zeta_m }\right)^{-3}_{} \left.\vphantom{ \left( 1 + \delta \zeta_m \right)^{-3} }\right]$$ = (4.49)

et pour une fonction f dépendant de m, on a le développement suivant :

$$\delta \delta \delta^{2}_{} \delta \delta^{2}_{} \delta^{3}_{}$$ =

$$\delta \delta^{2}_{} \delta^{3}_{} \delta^{4}_{}$$ = (4.50)

où $\delta^{i}_{}$ est d'ordre $\epsilon^{i/2}_{}$.

En faisant usage de ces relations, le développement de l'équation [] conduit, à l'ordre dominant, à l'équation dynamique suivante pour $\zeta_{m}^{}$ :

$$\partial_{t}^{} \zeta_{m}^{} {\frac{\zeta_{m+1}-\zeta_{m-1}}{2}} {\frac{3 \, R \, \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0 \, {\cal A}}{\Delta^0}} \delta^{3}_{} \zeta_{m}^{}$$ =

$${\frac{\left[2 \, R \, \nu_+\nu_- \, c_{eq}^0 - P \, \Delta \nu\right]}{2}} {\frac{\nu_++\nu_-}{(\Delta^0)^2}} \delta^{2}_{} \zeta_{m}^{}$$ -

$${\frac{3 \, {\cal A} \, \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0}{\Delta^0}} \left(\vphantom{ 1 + \frac{R}{2} \left( 3 + \frac{\Delta \nu}{\Delta^0} \right) }\right. {\frac{R}{2}} \left(\vphantom{ 3 + \frac{\Delta \nu}{\Delta^0} }\right. {\frac{\Delta \nu}{\Delta^0}} \left.\vphantom{ 3 + \frac{\Delta \nu}{\Delta^0} }\right) \left.\vphantom{ 1 + \frac{R}{2} \left( 3 + \frac{\Delta \nu}{\Delta^0} \right) }\right) \delta^{4}_{} \zeta_{m}^{}$$ -

$${\textstyle\frac{3}{2}} \left(\vphantom{ 3 + \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta^0} }\right. {\frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta^0}} \left.\vphantom{ 3 + \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta^0} }\right) {\frac{R \, {\cal A} \, \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0}{\Delta^0}} \delta^{2}_{} \left[\vphantom{ \left( \delta \zeta_m \right)^2 }\right. \left(\vphantom{ \delta \zeta_m }\right. \delta \zeta_{m}^{} \left.\vphantom{ \delta \zeta_m }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{ \left( \delta \zeta_m \right)^2 }\right]$$ -

$$\epsilon^{5/2}_{}$$ (4.51)

où, nous avons défini $\Delta^{0}_{}$ = 2$\nu$ + $\nu_{+}^{}$$\nu_{-}^{}$. C'est à partir de cette dernière équation, que la limite continue peut être effectuée proprement. L'identification de la non-linéarité pertinente nous permet d'établir le comportement d'échelle de $\zeta$. Le terme non linéaire $\delta^{2}_{}$$\left[\vphantom{ \left( \delta \zeta_m \right)^2 }\right.$$\left(\vphantom{ \delta \zeta_m }\right.$$\delta$$\zeta_{m}^{}$$\left.\vphantom{ \delta \zeta_m }\right)^{2}_{}$$\left.\vphantom{ \left( \delta \zeta_m \right)^2 }\right]$ doit être du même ordre que les termes linéaires, c'est-à-dire d'ordre $\epsilon^{2}_{}$. Compte tenu du comportement d'échelle de $\delta$, on trouve que $\zeta$ est d'ordre 1 ( $\zeta$ $\sim$ $\epsilon^{0}_{}$), ce qui confirme l'hypothèse faite plus haut d'un comportement d'échelle régulier pour $\zeta$.

Rappelons que $\zeta_{m}^{}$, la perturbation de la position de la marche m, est une fonction discrète de l'indice m des marches. Cet indice m est relié à la hauteur h de la surface, en ce sens que la terrasse m est à une hauteur fixée y = - ma, où a est une longueur atomique. Nous posons Y = - y/a et considérons une fonction $\Upsilon$ de la variable continue Y définie de telle sorte que $\Upsilon$(Y = m) = $\zeta_{m}^{}$. La courbe définie par z = $\Upsilon$(Y) + Y$\ell$ est une approximation continue de la surface vicinale (voir figure []).

Figure: Approximation continue de la surface par une fonction $\Upsilon$ telle que $\Upsilon$(Y = m) = $\zeta_{m}^{}$ = z_m - m$\ell$.

Le fait que nous étudions la dynamique de l'instabilité aux grandes échelles de longueur valide cette approximation : comme $\delta$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$ alors $\partial_{y}^{}$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$ ; on peut donc écrire $\delta$$\zeta_{m}^{}$ comme un développement hiérarchique en $\Upsilon$ :

$$\delta \zeta_{m}^{} \zeta_{m+1}^{} \zeta_{m}^{} \Upsilon \Upsilon$$ =

$$\partial_{Y}^{} \Upsilon {\textstyle\frac{1}{2}} \partial_{Y^2}^{} \Upsilon {\textstyle\frac{1}{6}} \partial_{Y^3}^{} \Upsilon \epsilon^{2}_{}$$ = (4.52)

Les différences finies d'ordre supérieur $\delta^{2}_{}$, $\delta^{3}_{}$ et $\delta^{4}_{}$ s'expriment d'une façon similaire.

Après quelques manipulations algébriques, l'équation d'évolution obtenue à partir de [] prend la forme :

$$\partial_{t}^{} \Upsilon \partial_{Y}^{} \Upsilon \left(\vphantom{ \frac{P}{6} + \frac{3 \; R \; \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0 {\cal A}}{\Delta_0} }\right. {\frac{P}{6}} {\frac{3 \; R \; \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0 {\cal A}}{\Delta_0}} \left.\vphantom{ \frac{P}{6} + \frac{3 \; R \; \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0 {\cal A}}{\Delta_0} }\right) \partial_{Y^3}^{} \Upsilon$$ =

$${\frac{\nu}{\Delta_0^2}} \left(\vphantom{2 \, R \, \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0 - P \, \Delta \nu }\right. \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \Delta \nu \left.\vphantom{2 \, R \, \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0 - P \, \Delta \nu }\right) \partial_{Y^2}^{} \Upsilon {\frac{3 \nu_+ \nu_- {\cal A} c_{eq}^0}{\Delta^0}} \left(\vphantom{ 1 + \frac{R}{2} \frac{\Delta \nu}{\Delta_0} }\right. {\frac{R}{2}} {\frac{\Delta \nu}{\Delta_0}} \left.\vphantom{ 1 + \frac{R}{2} \frac{\Delta \nu}{\Delta_0} }\right) \partial_{Y^4}^{} \Upsilon$$ -

$${\textstyle\frac{3}{2}} \left(\vphantom{ 3 + \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta^0} }\right. {\frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta^0}} \left.\vphantom{ 3 + \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta^0} }\right) {\frac{\nu_+ \nu_- \, R \, {\cal A} \, c_{eq}^0}{\Delta^0}} \partial_{Y^2}^{} \left(\vphantom{ \left( \partial_Y \Upsilon \right)^2 }\right. \left(\vphantom{ \partial_Y \Upsilon }\right. \partial_{Y}^{} \Upsilon \left.\vphantom{ \partial_Y \Upsilon }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{ \left( \partial_Y \Upsilon \right)^2 }\right)$$ -

$$\epsilon^{5/2}_{}$$ + (4.53)

Finalement cette dernière équation peut être transformée en une équation d'évolution pour la hauteur h de la surface en inversant la fonction $\Upsilon$(y). Une représentation générale de la surface est donnée par G(y, z, t) = 0, où y et z sont les coordonnées spatiales. Dans la représentation discrète de la surface donnée par la position des marches, G s'écrit :

G(y, z, t) = z - z_m(t)

$$\zeta_{m}^{}$$ =

$$\Upsilon$$ = (4.54)

La surface peut aussi être représentée par sa hauteur h en fonction de la coordonnée z :

G(y, z, t) = y/a - h(z, t)  , (4.55)

où h est exprimée en unité atomique a. Les deux alternatives de représentation sont liées par la relation suivante :

$$\Upsilon$$ (4.56)

En différentiant l'équation précédente par rapport à t et Y, on obtient les relations qui vont nous permettre d'effectuer le passage de la représentation en terme de marches à celle continue :

$$\partial_{t}^{} \left(\vphantom{ P + \partial_t \Upsilon }\right. \partial_{t}^{} \Upsilon \left.\vphantom{ P + \partial_t \Upsilon }\right) \partial_{z}^{}$$ = (4.57)

$$\partial_{Y}^{} \Upsilon {\frac{1}{\partial_z h}}$$ = (4.58)

$$\partial_{Y^2}^{} \Upsilon {\frac{1}{\partial_z h}} \partial_{z}^{} \left[\vphantom{ \frac{1}{\partial_z h} }\right. {\frac{1}{\partial_z h}} \left.\vphantom{ \frac{1}{\partial_z h} }\right]$$ = (4.59)

Des relations similaires sont obtenues pour les dérivées d'ordre supérieur.

Introduisons $\tilde{h}$ = h + z, qui représente la hauteur de la surface à laquelle la pente moyenne de la surface vicinale a été soustraite. En prenant en compte le comportement en $\epsilon$ de h : $\partial_{z}^{}$$\tilde{h}$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$, avec $\tilde{h}$ d'ordre un, on obtient, à partir de l'équation [], l'équation d'évolution non linéaire à l'ordre dominant :

$$\partial_{t}^{} \tilde{h} \left(\vphantom{ \frac{P}{6} + \frac{3 \, R \, \nu_+ \nu_- \, {\cal A} \, c_{eq}^0}{\Delta^0} }\right. {\frac{P}{6}} {\frac{3 \, R \, \nu_+ \nu_- \, {\cal A} \, c_{eq}^0}{\Delta^0}} \left.\vphantom{ \frac{P}{6} + \frac{3 \, R \, \nu_+ \nu_- \, {\cal A} \, c_{eq}^0}{\Delta^0} }\right) \partial_{z^3}^{} \tilde{h} {\frac{\nu}{\Delta_0^2}} \left(\vphantom{2 \, R \, \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0 - P \, \Delta \nu }\right. \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \Delta \nu \left.\vphantom{2 \, R \, \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0 - P \, \Delta \nu }\right) \partial_{z^2}^{} \tilde{h}$$ =

$${\frac{3 \nu_+ \nu_- \, {\cal A} \, c_{eq}^0}{\Delta^0}} \left(\vphantom{ 1 + \frac{R}{2} \frac{\Delta \nu}{\Delta_0} }\right. {\frac{R}{2}} {\frac{\Delta \nu}{\Delta_0}} \left.\vphantom{ 1 + \frac{R}{2} \frac{\Delta \nu}{\Delta_0} }\right) \partial_{z^4}^{} \tilde{h}$$ -

$${\textstyle\frac{3}{2}} \left[\vphantom{ \frac{P}{6} - \left( \frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0} \right)^2 \, {\cal A} \, R \, c_{eq}^0 }\right. {\frac{P}{6}} \left(\vphantom{ \frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0} }\right. {\frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0}} \left.\vphantom{ \frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0} }\right)^{2}_{} \cal {A} \left.\vphantom{ \frac{P}{6} - \left( \frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0} \right)^2 \, {\cal A} \, R \, c_{eq}^0 }\right] \partial_{z^2}^{} \left(\vphantom{ \left( \partial_z {\tilde h} \right)^2 }\right. \left(\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right. \partial_{z}^{} \tilde{h} \left.\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{ \left( \partial_z {\tilde h} \right)^2 }\right)$$ +

$$\epsilon^{5/2}_{}$$ + (4.60)

En absorbant le terme constant, correspondant à la vitesse moyenne de croissance de la surface, par transformation galiléenne et en renormalisant de manière approipriée $\tilde{h}$, z et t, l'équation [] se réduit à une équation à un seul paramètre :

$$\partial_{t}^{} \tilde{h} \partial_{z^2}^{} \tilde{h} \gamma \partial_{z^3}^{} \tilde{h} \partial_{z^4}^{} \tilde{h} \partial_{z^2}^{} \left[\vphantom{ \left( \partial_z {\tilde h} \right)^2 }\right. \left(\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right. \partial_{z}^{} \tilde{h} \left.\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{ \left( \partial_z {\tilde h} \right)^2 }\right]$$ (4.61)

où $\gamma$ a une forme compliquée, combinaison des préfacteurs de l'équation [] :

$$\gamma {\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}} {\frac{\Delta_0^2}{\nu}} {\frac{1}{1 + \frac{R}{2} \, \frac{\Delta \nu}{\Delta_0}}} \left[\vphantom{ R + \frac{P \, \Delta_0}{18 \, \nu_+ \, \nu_- \, c_{eq}^0 \, {\cal A}} }\right. {\frac{P \, \Delta_0}{18 \, \nu_+ \, \nu_- \, c_{eq}^0 \, {\cal A}}} \left.\vphantom{ R + \frac{P \, \Delta_0}{18 \, \nu_+ \, \nu_- \, c_{eq}^0 \, {\cal A}} }\right]$$ (4.62)

L'équation [] est l'équation d'évolution appropriée pour le profil de la surface vicinale dans la limite sans désorption. Cette équation a été rencontrée récemment par Csahók, Misbah et Valance [#!Csahok00!#] dans le contexte de l'étude de la formation de rides sur le sable sous l'action du vent (nous l'appellerons donc dans la suite équation CMV). Elle a une forme de loi de conservation ; c'est-à-dire que la vitesse de croissance de la surface peut s'écrire comme la divergence d'un flux.

Figure: Simulation numérique de l'équation [] avec $\gamma$ = 1. La condition initiale est une surface plane, perturbée aléatoirement. La taille latérale est de dix fois la longueur d'onde du mode le plus instable. Les différentes courbes représentent le profil de la surface et sont translatées vers le haut au cours du temps. L'évolution temporelle montre un mûrissement de la structure formée.

Présentons maintenant les principaux résultats de l'intégration numérique de l'équation []. Contrairement à l'équation de Benney [], l'équation [] donne naissance à un processus de mûrissement (comme cela est visible sur la figure []). À partir d'une perturbation initiale aléatoire, le profil de la surface développe tout d'abord une structure cellulaire dont la longueur d'onde correspond à celle du mode le plus instable linéairement. Puis, à mesure que le temps s'écoule, les cellules formées coalescent entre elles, initiant un processus de mûrissement de la structure du profil de la surface.

Chaque « cellule » correspond à un paquet de marches (voir fig.[]). Le processus de mûrissement observé sur la structure du profil de la surface correspond alors pour le train de marches à un appariement des paquets de marches.

Figure: Lien entre les représentations continue et discrète de la surface. Les rides observables sur la surface $\tilde{h}$ sont la traduction de la formation de paquets de marches.

Après un régime transitoire, la longueur d'onde caractéristique de la structure cellulaire (inversement proportionnelle au nombre de cellules observées par unité de longueur) croît avec le temps (voir figure [-a)]) comme une loi de puissance :

$$\lambda \sim$$ (4.63)

Figure: Lois de mûrissement $\lambda$ $\sim$ t^{0, 5} et de rugosité w $\sim$ t^{1, 5} obtenues à partir des simulations numériques de l'équation [].

a) Longueur d'onde caractéristique	b) Rugosité

Ce résultat est en accord avec les observations expérimentales faites sur le Silicium (1, 1, 1) [#!Yang96!#]. Ainsi, l'instabilité de mise en paquets trouvée dans le cas conservé diffère foncièrement de celle obtenue lorsque la désorption est présente. Dans le cas présent, la dynamique, à l'ordre dominant ne conduit en aucun cas à la sélection d'une longueur d'onde caractéristique. Des simulations numériques des équations discrètes du modèle BCF effectuées par Sato et al. [#!Sato98!#] produisent des résultats similaires : des paquets de marches se forment et « coalescent » en un processus de mûrissement ; la taille des terrasses entre les paquets de marches suit une loi d'échelle : L $\sim$ t^1/2. Ce processus de mûrissement correspond pour la surface à une mise en paquets hiérarchique des marches [#!Sato98!#] où les paquets rentrent en collision pour former de plus gros paquets. Un tel processus est également présent dans la version continue dérivée ici (voir figure []).

Cette étude, jointe à une précédente [#!Misbah96!#] effectuée dans le cas où la la longueur de diffusion avant désorption x_s = $\sqrt{D\,\tau}$ est finie, donne une vision globale de la dynamique de l'instabilité de mise en paquets des marches sur les surfaces vicinales dans les deux limites extrêmes : celle conservée et celle non conservée. Ces deux limites correspondent aux cas où la taille typique des structures mises en jeu sont plus grandes ou plus petites que x_s. Notre dérivation a l'avantage de lier les coefficients de l'équation d'évolution macroscopique aux coefficients physiques du modèle microscopique. Par exemple, nous avons montré que le préfacteur du terme non linéaire résulte de la combinaison des interactions élastiques et de l'électromigration (voir équation []).

Figure: Simulation de l'équation [] mettant en évidence la mise en paquets hiérarchique des marches. L'axe vertical représente le temps et l'axe horizontal, la coordonnée z, en unités arbitraires. La hauteur de la surface est représentée en dégradé de couleur : foncée pour les parties hautes, claire pour les creux. Comme indiqué sur la figure [], les paquets de marches sont alors localisés en bordure droite des zones sombres.

Un problème cependant se pose. À temps long, nous trouvons que la rugosité du profil de la surface suit une loi de puissance de la forme w $\sim$ t^{1, 5} (voir figure [-b)]). En introduisant les exposants de rugosité $\Xi$ et de mûrissement latéral $\Theta$, les solutions self-similaires de l'équation [] peuvent s'écrire sous la forme :

$$\bar{h} \Xi \left(\vphantom{ \frac{z}{t^{\Theta}} }\right. {\frac{z}{t^{\Theta}}} \left.\vphantom{ \frac{z}{t^{\Theta}} }\right)$$ (4.64)

La pente du profil de la surface s'écrit alors :

$$\partial_{z}^{} \bar{h} \Xi \Theta \partial_{X}^{}$$ (4.65)

avec X = z/t^$\Theta$. Les simulations numériques de l'équation [] nous montrent que $\Xi$ $\sim$ 3/2 et $\Theta$ $\sim$ 1/2 (cf fig.[]). Comme $\Xi$ > $\Theta$, cela implique que la pente du profil de la surface croît dans le temps. Or la surface étant vicinale, cette pente doit rester bornée en valeur absolue ; on en déduit que l'on doit avoir, pour le profil de hauteur de toute surface vicinale, égalité à temps long, entre les exposants de rugosité et de mûrissement latéral : $\Xi$ = $\Theta$.

Le comportement à temps long de l'équation [] ne semble pas aller en ce sens. La pente moyenne $\langle$ |$\partial_{z}^{}$$\tilde{h}$| $\rangle$ continue de croître au cours du temps, sans donner de signe précurseur de saturation.

L'équation [] décrit la dynamique du profil de la surface à l'ordre dominant en $\epsilon$. C'est-à-dire qu'on y a négligé les termes d'ordre supérieur. Cependant, à mesure qu'augmente la pente moyenne de la surface, des non-linéarités initialement négligeables peuvent devenir pertinentes dans la description de la dynamique et éventuellement modifier à temps long le comportement dynamique de la surface. Il devient alors impératif, si l'on veut pouvoir décrire correctement la dynamique à temps long du profil de la surface vicinale, de les prendre en compte.