Cas conservé

La surface vicinale de désorientation $\theta$ est soumise à un flux atomique incident F. Les atomes atterrissent sur les terrasses de longueur $\ell$, y sont adsorbés et diffusent (avec une constante de diffusion D) avant de trouver un site d'attachement à la marche. Sur une surface vicinale, les marches sont des sites privilégiés pour l'attachement des adatomes. En s'attachant aux marches, ceux-ci les font avancer avec une vitesse V₀ provoquant la croissance de la surface dans un régime dit « d'écoulement de marches » .

Figure: Vue schématique de la surface vicinale montrant les notations utilisées dans le modèle.

Notons par c la concentration d'adatomes sur les terrasses. L'équation de diffusion des adatomes sur les terrasses, en présence d'électromigration et dans l'approximation quasi statique prend la forme:

$${\frac{\partial^2 c}{\partial z^2}} \left(\vphantom{ \frac{D F_{el}}{k_B T} }\right. {\frac{D F_{el}}{k_B T}} \left.\vphantom{ \frac{D F_{el}}{k_B T} }\right) {\frac{\partial c}{\partial z}}$$ (4.13)

où nous rappelons que F est le flux atomique incident ^4.3 et D la constante de diffusion sur les terrasses. F_el est la force d'électromigration due au courant électrique agissant sur les adatomes et est définie positive dans le sens descendant les marches. Aux marches, le flux de masse est relié à l'écart à l'équilibre thermodynamique par une relation « à la Onsager » :

$$\nu_{+}^{}$$ - J_m(z_m) = (4.14)

$$\nu_{-}^{}$$ J_m(z_{m + 1}) = (4.15)

z_m est la position de la marche d'indice m et $\nu_{\pm}^{}$ sont des coefficients cinétiques d'attachement des adatomes aux marches ; ils ont la dimension d'une vitesse. Un attachement impossible correspond à une valeur nulle de $\nu_{\pm}^{}$ alors qu'une cinétique instantanée est donnée par la limite $\nu_{\pm}^{}$ $\rightarrow$ + $\infty$. Les marches sont indexées par la variable m et c_eqm est la concentration d'équilibre au bord de la marche m et tient compte des interactions élastiques entre marches [#!Pierre-Louis98a!#,#!Pierre-Louis98b!#,#!Pierre-Louis98c!#] ; pour une marche droite, celle-ci s'écrit :

$$\left[\vphantom{ 1 + {\cal A} \left( \frac{\ell^3}{\ell_m^3} - \frac{\ell^3}{\ell_{m-1}^3} \right) }\right. \cal {A} \left(\vphantom{ \frac{\ell^3}{\ell_m^3} - \frac{\ell^3}{\ell_{m-1}^3} }\right. {\frac{\ell^3}{\ell_m^3}} {\frac{\ell^3}{\ell_{m-1}^3}} \left.\vphantom{ \frac{\ell^3}{\ell_m^3} - \frac{\ell^3}{\ell_{m-1}^3} }\right) \left.\vphantom{ 1 + {\cal A} \left( \frac{\ell^3}{\ell_m^3} - \frac{\ell^3}{\ell_{m-1}^3} \right) }\right]$$ c_eqm = (4.16)

$$\left[\vphantom{ 1 + {\cal A}_m }\right. \cal {A} \left.\vphantom{ 1 + {\cal A}_m }\right]$$ =

où c_eq⁰ est la concentration d'équilibre au bord des marches pour des marches équidistantes sur la surface ; $\ell_{m}^{}$ = z_{m + 1} - z_m est la longueur de la terrasse m se trouvant devant la marche de même indice et $\cal {A}$ est relié à l'énergie élastique d'interaction entre marches par unité de longueur $\epsilon_{el}^{}$ par :

$$\cal {A} {\frac{2 \, \Omega \, \epsilon_{el}}{k_B \, T \, \ell}}$$ (4.17)

où $\Omega$ est l'aire atomique dans le solide. Le courant de matière sur la terrasse m (pour z_m < z < z_{m + 1}) est défini par :

$$\left[\vphantom{ D \, \frac{\partial c_m}{\partial z}(z) - \left( \frac{D F_{el}}{k_B T} \right) \, c_m(z) }\right. {\frac{\partial c_m}{\partial z}} \left(\vphantom{ \frac{D F_{el}}{k_B T} }\right. {\frac{D F_{el}}{k_B T}} \left.\vphantom{ \frac{D F_{el}}{k_B T} }\right) \left.\vphantom{ D \, \frac{\partial c_m}{\partial z}(z) - \left( \frac{D F_{el}}{k_B T} \right) \, c_m(z) }\right]$$ (4.18)

ce qui inclut à la fois le courant de diffusion et celui dû à l'électromigration. Finalement, la vitesse de la marche d'indice m est reliée aux courants de matière via une relation de conservation de la matière exprimée en z = z_m :

$$\Omega \left[\vphantom{ -J_m(z_m) + J_{m-1}(z_m) }\right. \left.\vphantom{ -J_m(z_m) + J_{m-1}(z_m) }\right]$$ (4.19)

L'ensemble des équations [] à [] définit complètement la dynamique conservée des marches en présence d'électromigration.

Introduisons maintenant quelques variables adimensionnées. Le temps sera redimensionné par $\ell^{2}_{}$/D (t est remplacé par tD/$\ell^{2}_{}$) et les longueurs le long de z seront exprimées en unités de $\ell$, la longueur moyenne des terrasses. Les concentrations seront redimensionnées par 1/$\Omega$ de sorte que dans ce qui suit c aura la signification d'un taux de couverture par rapport à la phase solide (où c = 1). Le nombre de Péclet P est défini par P = V₀ $\ell$/D, où V₀ est la vitesse stationnaire du train de marches équidistantes. Les coefficients cinétiques $\nu_{\pm}^{}$ seront remplacés par $\nu_{\pm}^{}$ $\ell$/D = $\ell$/d_± où d_± est par définition la longueur Schwoebel. On utilisera dans la suite $\Delta$$\nu$ = $\nu_{+}^{}$ - $\nu_{-}^{}$, qui caractérise l'effet Ehrlich-Schwoebel et $\nu$ = ($\nu_{+}^{}$ + $\nu_{-}^{}$)/2. Nous définissons aussi un coefficient d'électromigration adimensionné R = F_el$\ell$/k_B T = $\ell$/$\xi$. Dans les conditions expérimentales usuelles, $\xi$ $\gg$ $\ell$ [#!Metois99!#] ; c'est à dire que R $\ll$ 1.

Lorsque les marches sont équidistantes, la solution stationnaire pour la concentration d'adatomes sur la terrasse m (pour z_m < z < z_{m + 1}) s'écrit :

$${\frac{P}{R}}$$ (4.20)

z_m étant la position de la marche m et A₀ et B₀ des constantes d'intégration déterminées par les conditions limites [] et []. Le calcul de la vitesse V₀ du train de marches équidistantes conduit à :

$$\Omega \ell$$ (4.21)

ce qui est en accord avec la conservation globale de la matière.

L'analyse linéaire de stabilité du train de marches uniforme est accomplie en déterminant la réponse du train de marches à une perturbation de la forme :

$$\epsilon{^\prime} \zeta_{m}^{}$$ (4.22)

La perturbation $\zeta_{m}^{}$(t) est décomposée en modes de Fourier ; ceux-ci ne se couplant pas en régime linéaire, on peut étudier la réponse du train de marches à un mode :

$$\zeta_{m}^{} \zeta_{\omega,\Phi}^{} \omega \phi$$ (4.23)

$\omega$ étant le taux de croissance (ou atténuation) que nous souhaitons déterminer, $\phi$ le déphasage entre marches adjacentes et $\epsilon{^\prime}$ est un petit paramètre mesurant l'amplitude de la perturbation. Cette perturbation du train de marches induit sur la terrasse m une perturbation du champ de concentration que l'on peut écrire :

$$\epsilon{^\prime} \zeta_{m}^{}$$ (4.24)

où c_m⁰(z) est la concentration pour le train de marches uniforme. En insérant cette expression dans les équations du modèle, on détermine la réponse linéaire du système à une perturbation infinitésimale, caractérisée par une relation de dispersion^4.4 :

$$\omega \phi \phi$$ = (4.25)

$$\left(\vphantom{P - \frac{3 \nu_+ \nu_- \, {\cal A} \, R \, c_{eq}^0}{\Delta_0} \left( 2 \sin(\phi/2) \right)^2 }\right. {\frac{3 \nu_+ \nu_- \, {\cal A} \, R \, c_{eq}^0}{\Delta_0}} \left(\vphantom{ 2 \sin(\phi/2) }\right. \phi \left.\vphantom{ 2 \sin(\phi/2) }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{P - \frac{3 \nu_+ \nu_- \, {\cal A} \, R \, c_{eq}^0}{\Delta_0} \left( 2 \sin(\phi/2) \right)^2 }\right) \phi$$ + (4.26)

avec

$$\Delta_{0}^{} \nu \nu_{+}^{} \nu_{-}^{}$$ = (4.27)

$${\frac{\nu}{\Delta_0^2}} \left(\vphantom{ 2 \nu_+ \nu_- \, R \, c_{eq}^0 - P \, \Delta \nu }\right. \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \Delta \nu \left.\vphantom{ 2 \nu_+ \nu_- \, R \, c_{eq}^0 - P \, \Delta \nu }\right)$$ C = (4.28)

$${\frac{3 \nu_+ \nu_- \, {\cal A} \, c_{eq}^0}{\Delta_0}}$$ D = (4.29)

La partie réelle de $\omega$ représente le taux d'amplification de la perturbation au cours du temps. Pour $\Re$e($\omega$) > 0, la surface vicinale est instable vis-à-vis de l'instabilité de mise en paquets des marches. Cela a lieu pour (cf. fig. []) :

$$\nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \Delta \nu$$ (4.30)

L'instabilité se produit au delà d'une valeur critique de la force d'électromigration :

$${\frac{P \, \Delta \nu}{2 \nu_+ \nu_- c_{eq}^0}}$$ (4.31)

Cette valeur critique du paramètre de contrôle qu'est la force d'électromigration, constitue un seuil pour l'instabilité. En deçà de ce seuil, le train de marche est stable alors qu'au-delà il souffre d'une instabilité de mise en paquets des marches. Dans les conditions expérimentales usuelles, $\Delta$$\nu$ > 0, la surface vicinale est toujours instable pour une force d'électromigration positive R > R_c (c'est-à-dire une force d'électromigration descendant les marches). La quantité qui fixe le taux de croissance : 2 $\nu_{+}^{}$$\nu_{-}^{}$ R c_eq⁰ - P $\Delta$$\nu$ est petite dans les systèmes expérimentaux qui nous intéressent ; elle constitue le petit paramètre mesurant l'écart au seuil de l'instabilité dont nous nous servirons pour le développement de l'équation continue, sa faible valeur légitimera la limite continue. Nous posons alors :

$$\epsilon \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \Delta \nu$$ (4.32)

Le maximum de $\Re$e($\omega$) est atteint pour une valeur $\phi_{m}^{}$, le mode le plus instable (i.e. le mode instable ayant le taux de croissance le plus élevé). À partir de l'équation [], nous obtenons les lois d'échelle suivantes :

$$\phi_{m}^{} \sim \epsilon^{1/2}_{} \Re \omega \sim \epsilon^{2}_{} \Im \omega \sim \epsilon^{1/2}_{}$$ (4.33)

Dans l'espace réel, cela signifie que nous avons des modulations de grande longueur d'onde évoluant lentement dans le temps. Plus précisément, l'évolution temporelle se produit sur des échelles de temps de l'ordre de t $\sim$ $\epsilon^{-2}_{}$. La loi d'échelle de $\phi$ signifie que pour toute quantité f_m dépendant de l'indice des marches m (par exemple la concentration c_m), nous avons :

$$\phi \sim \phi \sim \epsilon^{1/2}_{}$$ (4.34)

et en appelant $\delta$ l'opérateur de différence finie :

$$\delta \sim \epsilon^{1/2}_{}$$ (4.35)

Une fois l'instabilité développée, les effets non linéaires deviennent importants. Dans la suite, nous présenterons les grandes lignes de la dérivation de l'équation non linéaire d'évolution de l'instabilité.

Il nous a semblé commode d'extraire au préalable des conditions limites [] et [] la position des marches z_m. À cet effet, nous effectuons le changement de variable suivant : Z = (z - z_m)/$\ell_{m}^{}$ = $\rho_{m}^{}$(z - z_m), où $\rho_{m}^{}$ = 1/$\ell_{m}^{}$ est la densité locale de marches. Les équations constitutives du modèle [], [], [] et [] se récrivent alors :

$${\frac{\partial^2 c_m}{\partial Z^2}} \ell_{m}^{} {\frac{\partial c_m}{\partial Z}} \ell_{m}^{}$$ (4.36)

$$\rho_{m}^{} {\frac{\partial c_m}{\partial Z}} \nu_{+}^{} \left(\vphantom{ c_m(0) - c_{eq_m} }\right. \left.\vphantom{ c_m(0) - c_{eq_m} }\right)$$ (4.37)

$$\rho_{m}^{} {\frac{\partial c_m}{\partial Z}} \nu_{-}^{} \left(\vphantom{ c_m(1) - c_{eq_{m+1}} }\right. \left.\vphantom{ c_m(1) - c_{eq_{m+1}} }\right)$$ (4.38)

$$\left[\vphantom{ \rho_m \frac{\partial c_m}{\partial Z} (0) - R \; c_m(0) }\right. \rho_{m}^{} {\frac{\partial c_m}{\partial Z}} \left.\vphantom{ \rho_m \frac{\partial c_m}{\partial Z} (0) - R \; c_m(0) }\right] \left[\vphantom{ \rho_{m-1} \frac{\partial c_{m-1}}{\partial Z}(1) - R \; c_{m-1}(1) }\right. \rho_{m-1}^{} {\frac{\partial c_{m-1}}{\partial Z}} \left.\vphantom{ \rho_{m-1} \frac{\partial c_{m-1}}{\partial Z}(1) - R \; c_{m-1}(1) }\right]$$ V_m = (4.39)

Comme R est petit dans les conditions expérimentales usuelles, il est suffisant de se limiter à un développement au plus bas ordre en R pour la détermination du champ de concentration c_m :

c_m = c_m⁰ + R  c_m¹ + O(R²)  . (4.40)

Les équations [] à [] nous permettent de déterminer c_m :

$$\left[\vphantom{ -\frac{P \, \ell_m^2}{2} Z^2 + a_m^0 Z + b_m^0 }\right. {\frac{P \, \ell_m^2}{2}} \left.\vphantom{ -\frac{P \, \ell_m^2}{2} Z^2 + a_m^0 Z + b_m^0 }\right]$$ c_m(Z) =

$$\left[\vphantom{ -\frac{P \, \ell_m^3}{6} Z^3 + \frac{\ell_m \, a_m^0}{2} Z^2 + a_m^1 Z + b_m^1 }\right. {\frac{P \, \ell_m^3}{6}} {\frac{\ell_m \, a_m^0}{2}} \left.\vphantom{ -\frac{P \, \ell_m^3}{6} Z^3 + \frac{\ell_m \, a_m^0}{2} Z^2 + a_m^1 Z + b_m^1 }\right]$$ (4.41)

où

$${\frac{\nu_+\nu_-}{\rho_m \, \Delta_m}} {\frac{P \, \ell_m}{2}} \left(\vphantom{ \ell_m + \frac{\Delta \nu}{\Delta_m} }\right. \ell_{m}^{} {\frac{\Delta \nu}{\Delta_m}} \left.\vphantom{ \ell_m + \frac{\Delta \nu}{\Delta_m} }\right)$$ a_m⁰ = (4.42)

$${\frac{1}{\rho_m \, \Delta_m}} \left[\vphantom{ \rho_m \, \nu_- (c_{eq_{m+1}} - c_{eq_m} ) + P + \frac{\nu_- \, P \ell_m}{2} }\right. \rho_{m}^{} \nu_{-}^{} {\frac{\nu_- \, P \ell_m}{2}} \left.\vphantom{ \rho_m \, \nu_- (c_{eq_{m+1}} - c_{eq_m} ) + P + \frac{\nu_- \, P \ell_m}{2} }\right]$$ b_m⁰ = (4.43)

$${\frac{1}{\rho_m \, \Delta_m}} \left[\vphantom{ (\nu_++\nu_-) b_m^0 + \nu_+\nu_- \frac{P\, \ell_m^3}{6} - \nu_+\nu_- \frac{\ell_m \, a_m^0}{2} }\right. \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} {\frac{P \, \ell_m^3}{6}} \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} {\frac{\ell_m \, a_m^0}{2}} \left.\vphantom{ (\nu_++\nu_-) b_m^0 + \nu_+\nu_- \frac{P\, \ell_m^3}{6} - \nu_+\nu_- \frac{\ell_m \, a_m^0}{2} }\right]$$ a_m¹ = (4.44)

$${\frac{\nu_-}{\rho_m \, \Delta_m}} \left[\vphantom{ \frac{P \, \ell_m^2}{6} - \frac{a_m^0}{2} - b_m^0 }\right. {\frac{P \, \ell_m^2}{6}} {\frac{a_m^0}{2}} \left.\vphantom{ \frac{P \, \ell_m^2}{6} - \frac{a_m^0}{2} - b_m^0 }\right]$$ b_m¹ = (4.45)

où nous avons défini $\Delta_{m}^{}$ = 2$\nu$ + $\nu_{+}^{}$$\nu_{-}^{}$$\ell_{m}^{}$. En utilisant l'équation [], nous trouvons que la vitesse de la marche m prend la forme :

$${\frac{\ell_m+\ell_{m-1}}{2}} {\frac{P \, \Delta \nu}{2}} \delta \left[\vphantom{ \frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}} }\right. {\frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}}} \left.\vphantom{ \frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}} }\right] {\frac{R \, \nu_+ \nu_- }{2}} \delta \left[\vphantom{ \frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}} \left( c_{eq_m}+c_{eq_{m-1}} \right) }\right. {\frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}}} \left(\vphantom{ c_{eq_m}+c_{eq_{m-1}} }\right. \left.\vphantom{ c_{eq_m}+c_{eq_{m-1}} }\right) \left.\vphantom{ \frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}} \left( c_{eq_m}+c_{eq_{m-1}} \right) }\right]$$ V_m =

$${\frac{R \, \nu_+ \nu_- \Delta \nu}{2}} \delta \left[\vphantom{ \frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}} \, \frac{c_{eq_m}-c_{eq_{m-1}}}{\Delta_{m-1}} }\right. {\frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}}} {\frac{c_{eq_m}-c_{eq_{m-1}}}{\Delta_{m-1}}} \left.\vphantom{ \frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}} \, \frac{c_{eq_m}-c_{eq_{m-1}}}{\Delta_{m-1}} }\right] \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \delta \left[\vphantom{ \frac{c_{eq_m}-c_{eq_{m-1}}}{\Delta_{m-1}} }\right. {\frac{c_{eq_m}-c_{eq_{m-1}}}{\Delta_{m-1}}} \left.\vphantom{ \frac{c_{eq_m}-c_{eq_{m-1}}}{\Delta_{m-1}} }\right]$$ +

+ O(R², PR)  . (4.46)

En utilisant la définition [] de c_eqm, on peut la reformuler comme suit afin de faire apparaître explicitement le paramètre $\epsilon$ = 2 R $\nu_{+}^{}$$\nu_{-}^{}$ c_eq⁰ - P $\Delta$$\nu$ :

$${\frac{\ell_m+\ell_{m-1}}{2}} {\frac{\left[2 \, R \, \nu_+\nu_- \, c_{eq}^0 - P \, \Delta \nu\right]}{2}} \delta \left[\vphantom{ \frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}} }\right. {\frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}}} \left.\vphantom{ \frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}} }\right]$$ V_m =

$${\frac{R \, \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0 \, \Delta \nu}{2}} \delta \left[\vphantom{ \frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}} \, \frac{\delta {\cal A}_{m-1}}{\Delta_{m-1}} }\right. {\frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}}} {\frac{\delta {\cal A}_{m-1}}{\Delta_{m-1}}} \left.\vphantom{ \frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}} \, \frac{\delta {\cal A}_{m-1}}{\Delta_{m-1}} }\right] \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \delta \left[\vphantom{ \frac{\delta {\cal A}_{m-1}}{\Delta_{m-1}} }\right. {\frac{\delta {\cal A}_{m-1}}{\Delta_{m-1}}} \left.\vphantom{ \frac{\delta {\cal A}_{m-1}}{\Delta_{m-1}} }\right]$$ +

$${\frac{R \, \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0}{2}} \delta \left[\vphantom{ \frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}} \left( {\cal A}_m + {\cal A}_{m-1} \right) }\right. {\frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}}} \left(\vphantom{ {\cal A}_m + {\cal A}_{m-1} }\right. \cal {A} \cal {A} \left.\vphantom{ {\cal A}_m + {\cal A}_{m-1} }\right) \left.\vphantom{ \frac{\ell_{m-1}}{\Delta_{m-1}} \left( {\cal A}_m + {\cal A}_{m-1} \right) }\right]$$ - (4.47)