Faible désorption

La dynamique de l'instabilité de mise en paquets des marches en présence de désorption est donnée par l'équation de Benney et peut à la formation d'une structure régulière ayant une longueur caractéristique donnée par la longueur d'onde du mode le plus instable. En l'absence de désorption, le régime dynamique observé est radicalement différent. La dynamique à l'ordre dominant ne donne lieu à aucune sélection de longueur d'onde ; le système suit un processus de mûrissement qui ne manifeste aucun signe de saturation.

La désorption dépendant fortement de la température de la surface vicinale, on peut imaginer qu'en faisant varier la température, on puisse agir sur cette désorption, passant d'un régime où elle est fortement présente à un autre où elle est quasiment négligeable. Les régimes dynamiques de ces deux cas extrêmes sont connus et foncièrement différents : le premier est donné par l'équation de Benney alors que le second suit l'équation CMV . La question se pose alors quant à l'existence et la nature d'un régime intermédiaire permettant de faire le lien entre ces deux cas limites. C'est l'objet de cette partie où nous étudions l'instabilité de mise en paquets des marches induite par électromigration dans la limite de faible désorption. Nous proposons aussi un scénario permettant d'expliquer la transition du régime de forte désorption à celui où elle est négligeable ; c'est-à-dire entre le régime non conservé et celui conservé.

Comme précédemment, la surface vicinale de désorientation $\theta$ est soumise à un flux atomique incident F. Les atomes atterrissent sur les terrasses de longueur $\ell$, y sont adsorbés et diffusent avec une constante de diffusion D, et désorbent avec un taux d'évaporation donné par 1/$\tau$.

Figure: Notations utilisées dans le modèle.

Appelons c la concentration d'adatomes sur les terrasses. L'équation de diffusion, en présence de désorption et d'électromigation s'écrit, dans l'approximation quasi statique :

$${\frac{\partial^2 c}{\partial z^2}} \left(\vphantom{ \frac{D F_{el}}{k_B T} }\right. {\frac{D F_{el}}{k_B T}} \left.\vphantom{ \frac{D F_{el}}{k_B T} }\right) {\frac{\partial c}{\partial z}} {\frac{c}{\tau}}$$ (4.68)

Les autres équations du modèle [], [], [] restent inchangées par rapport au cas conservé examiné précédemment.

Nous travaillerons avec les même variables adimensionnées que dans le cas précédent. Nous y ajoutons $\alpha$ = $\ell^{2}_{}$/D$\tau$, le taux d'évaporation adimensionné ainsi que le flux incident adimensionné : P₀ = $\Omega$F$\ell^{2}_{}$/D, qui est égal au nombre de Péclet P = V₀$\ell$/D en l'absence de désorption ($\alpha$ = 0).

Dans ce qui suit, nous nous intéressons à la limite de faible désorption $\alpha$ $\ll$ 1. Dans le but de ne retenir que les faits qualitatifs importants, nous faisons usage de l'approximation de faible électromigration (R $\ll$ 1; ce qui est le cas expérimentalement), et nous nous plaçons dans la cas où le taux de croissance est faible P $\ll$ 1. Seuls les termes linéaires en R et P seront donc retenus.

Nous allons développer les équations du modèle autour de l'état de référence où les marches sont équidistantes et dérivent à vitesse constante V₀. En ne retenant que les contributions principales on obtient :

$$\Omega \Omega \tau \ell$$ (4.69)

(i.e. P = P₀ - $\alpha$c_eq⁰ en variables adimensionnées, où nous avons négligé les termes d'ordre R²,$\alpha^{2}_{}$, P₀R, P₀$\alpha$, et R$\alpha$ ). Pour $\alpha$ = 0, nous retrouvons la loi de conservation globale de la masse: V₀ = $\Omega$F$\ell$.

L'analyse de stabilité linéaire du train de marches uniforme est effectuée de la même façon que dans le cas conservé. On aboutit alors à la relation de dispersion suivante :

$$\omega \left(\vphantom{ 2 \sin(\phi/2) }\right. \phi \left.\vphantom{ 2 \sin(\phi/2) }\right)^{2}_{} \left(\vphantom{ 2 \sin(\phi/2) }\right. \phi \left.\vphantom{ 2 \sin(\phi/2) }\right)^{4}_{} \phi$$ =

$$\alpha^{2}_{} \alpha \alpha$$ + (4.70)

où

$${\frac{\nu}{(\Delta_0)^2}} \left(\vphantom{ \frac{}{} 2 \nu_+ \nu_- R c_{eq}^0 - (P_0 - \alp... ...{eq}^0) \Delta \nu - \alpha c_{eq}^0 {\cal A} \frac{(\Delta_0)^2}{\nu} }\right. {\frac{}{}} \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \alpha \Delta \nu \alpha \cal {A} {\frac{(\Delta_0)^2}{\nu}} \left.\vphantom{ \frac{}{} 2 \nu_+ \nu_- R c_{eq}^0 - (P_0 - \alp... ...{eq}^0) \Delta \nu - \alpha c_{eq}^0 {\cal A} \frac{(\Delta_0)^2}{\nu} }\right)$$ C = (4.71)

$${\frac{3 \nu_+ \nu_- {\cal A} c_{eq}^0}{\Delta_0}} \left(\vphantom{ 1 + \frac{R}{2} \frac{\Delta \nu}{\Delta_0} - \frac{\alpha}{\Delta_0} (1+\nu +\frac{\nu_+\nu_-}{6}) }\right. {\frac{R}{2}} {\frac{\Delta \nu}{\Delta_0}} {\frac{\alpha}{\Delta_0}} \nu {\frac{\nu_+\nu_-}{6}} \left.\vphantom{ 1 + \frac{R}{2} \frac{\Delta \nu}{\Delta_0} - \frac{\alpha}{\Delta_0} (1+\nu +\frac{\nu_+\nu_-}{6}) }\right)$$ D = (4.72)

$$\left(\vphantom{ P_0-\alpha c_{eq}^0 }\right. \alpha \left.\vphantom{ P_0-\alpha c_{eq}^0 }\right) {\frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0}} \cal {A} \phi$$ E = (4.73)

et $\Delta_{0}^{}$ = $\nu_{+}^{}$ + $\nu_{-}^{}$ + $\nu_{+}^{}$$\nu_{-}^{}$.

La partie réelle de $\omega$ nous donne le taux d'amplification de la perturbation au cours du temps et s'écrit maintenant :

$$\Re \omega \phi \phi$$ =

$$\left(\vphantom{ \frac{}{} 1-\cos(\phi)}\right. {\frac{}{}} \phi \left.\vphantom{ \frac{}{} 1-\cos(\phi)}\right) \left(\vphantom{ \cos(\phi) - \left( 1-\frac{C}{2 D} \right) }\right. \phi \left(\vphantom{ 1-\frac{C}{2 D} }\right. {\frac{C}{2 D}} \left.\vphantom{ 1-\frac{C}{2 D} }\right) \left.\vphantom{ \cos(\phi) - \left( 1-\frac{C}{2 D} \right) }\right)$$ = (4.74)

En considérant le cas expérimental habituel pour lequel $\Delta$$\nu$ > 0, et pour $\alpha$ et R petits, (alors D > 0), la condition de stabilité s'écrit : 1 - ${\frac{C}{2 D}}$ > 1, c'est-à-dire C < 0 ou encore :

$$\nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \Delta \nu \alpha \cal {A} {\frac{(\Delta_0)^2}{\nu}}$$ (4.75)

L'instabilité se produit alors au delà d'une valeur critique de la force d'électromigration :

$${\frac{1}{2 \nu_+ \nu_- c_{eq}^0}} \left[\vphantom{ P \,\Delta \nu + 3 \, \alpha \, {\cal A} \, c_{eq}^0 \, \frac{(\Delta_0)^2}{\nu} }\right. \Delta \nu \alpha \cal {A} {\frac{(\Delta_0)^2}{\nu}} \left.\vphantom{ P \,\Delta \nu + 3 \, \alpha \, {\cal A} \, c_{eq}^0 \, \frac{(\Delta_0)^2}{\nu} }\right]$$ (4.76)

Dans les conditions expérimentales usuelles, la surface vicinale est donc toujours instable pour une force d'électromigration positive R > R_c (c'est-à-dire une force d'électromigration descendant les marches), que l'on soit en croissance ou en évaporation, en accord avec de récents résultats trouvés à la fois à basse et haute température lors d'expériences effectuées sur le Silicium (1, 1, 1) par Métois et al. [#!Metois99!#]. La quantité qui fixe le signe du taux de croissance : 2$\nu_{+}^{}$$\nu_{-}^{}$Rc_eq⁰ - P$\Delta$$\nu$ - 3$\alpha$$\cal {A}$c_eq⁰($\Delta_{0}^{}$)²/$\nu$  est petite dans les systèmes expérimentaux qui nous intéressent ; elle constitue le petit paramètre mesurant l'écart au seuil de l'instabilité dont nous nous servirons pour le développement de l'équation continue, sa faible valeur légitimera la limite continue. Nous définissons alors :

$$\epsilon \nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \Delta \nu \alpha \cal {A} {\frac{(\Delta_0)^2}{\nu}}$$ =

$$\nu_{+}^{} \nu_{-}^{} \left(\vphantom{ R - R_c }\right. \left.\vphantom{ R - R_c }\right)$$ = (4.77)

Ce paramètre mesure l'écart au seuil de l'instabilité. L'équation [] nous montre que pour C < 0, tous les modes sont stables (excepté celui pour lequel $\phi$ = 0 qui est toujours marginalement stable et correspond à un mode de Goldstone dû à l'invariance par translation du système le long de la direction z), c'est à dire que la surface vicinale sujette à une perturbation infinitésimale est stable. Pour C $\geq$ 4D, tous les modes sont instables tandis que dans le cas intermédiaire (0 < C < 4D), seuls les modes pour lesquels 0 < |$\phi$| < $\phi_{c}^{}$ (avec cos($\phi_{c}^{}$) = 1 - C/2D) sont instables ; $\phi_{c}^{}$ est appelé le mode de coupure (voir figure []).

Figure: Partie réelle du taux de croissance $\omega$ en fonction du déphasage $\phi$. Le graphe montre les différents régimes examinés dans le texte. Pour C > 4D tous les modes sont instables alors que pour 0 < C < 4D il existe une bande finie de modes instables.

Le maximum de $\Re$e($\omega$) est atteint pour $\phi$ = $\phi_{m}^{}$, le mode le plus instable (c'est-à-dire le mode ayant le plus fort taux de croissance donc celui se développant le plus vite). Nous avons :

$$\phi_{m}^{} {\frac{C}{4 D}}$$ = (4.78)

$$\Re \omega {\frac{C^2}{4 \; D}}$$ = (4.79)

Et proche du seuil de l'instabilité ( $\epsilon$ $\ll$ 1), nous avons les mêmes lois d'échelle que dans le cas conservé :

$$\phi_{m}^{} \sim \epsilon^{1/2}_{}$$ (4.80)

$$\phi_{c}^{} \sim \epsilon^{1/2}_{}$$ (4.81)

$$\Re \omega \sim \epsilon^{2}_{}$$ (4.82)

$$\Im \omega \sim \epsilon^{1/2}_{}$$ (4.83)

Les équations constitutives du modèle sont alors résolues de la même façon que dans le cas conservé examiné dans la section précédente. En posant
Z = (z - z_m)/$\ell_{m}^{}$ = $\rho_{m}^{}$(z - z_m), les équations [], [], [] et [] s'écrivent comme suit :

$${\frac{\partial^2 c_m}{\partial Z^2}} \ell_{m}^{} {\frac{\partial c_m}{\partial Z}} \alpha \ell_{m}^{2} \ell_{m}^{2}$$ (4.84)

$$\rho_{m}^{} {\frac{\partial c_m}{\partial Z}} \nu_{+}^{} \left(\vphantom{ c_m(0) - c_{eq_m} }\right. \left.\vphantom{ c_m(0) - c_{eq_m} }\right)$$ (4.85)

$$\rho_{m}^{} {\frac{\partial c_m}{\partial Z}} \nu_{-}^{} \left(\vphantom{ c_m(1) - c_{eq_{m+1}} }\right. \left.\vphantom{ c_m(1) - c_{eq_{m+1}} }\right)$$ (4.86)

$$\left[\vphantom{ \rho_m \frac{\partial c_m}{\partial Z} (0) - R \; c_m(0) }\right. \rho_{m}^{} {\frac{\partial c_m}{\partial Z}} \left.\vphantom{ \rho_m \frac{\partial c_m}{\partial Z} (0) - R \; c_m(0) }\right] \left[\vphantom{ \rho_{m-1} \frac{\partial c_{m-1}}{\partial Z}(1) - R \; c_{m-1}(1) }\right. \rho_{m-1}^{} {\frac{\partial c_{m-1}}{\partial Z}} \left.\vphantom{ \rho_{m-1} \frac{\partial c_{m-1}}{\partial Z}(1) - R \; c_{m-1}(1) }\right]$$ (4.87)

Les équations [] à [] sont résolues en utilisant un développement en R et $\alpha$ de c_m :

$$\alpha \alpha \alpha^{2}_{} \alpha$$ (4.88)

Posons $\zeta_{m}^{}$ = $\tilde{z}_{m}$ - m - Pt ( $\zeta_{m}^{}$ + m est la position de la marche m dans le repère mobile se déplaçant à la vitesse V₀), de telle sorte que V_m = P + $\partial_{t}^{}$$\zeta_{m}^{}$. En utilisant les lois d'échelle obtenues à partir de l'analyse linéaire, nous posons T = $\epsilon^{2}_{}$t et définissons l'opérateur de différence finie renormalisé $\Delta$ par : $\delta$f_m = f_{m + 1} - f_m = $\epsilon^{1/2}_{}$ $\Delta$f_m.

De l'équation [] découle l'équation dynamique suivante pour $\zeta_{m}^{}$ :

$$\epsilon^{2}_{} \partial_{T}^{} \zeta_{m}^{} \alpha {\frac{\zeta_{m+1}-\zeta_{m-1}}{2}} {\frac{\nu}{(\Delta^0)^2}} \epsilon^{2}_{} \Delta^{2}_{} \zeta_{m}^{} {\frac{3 \; R \; \nu_+ \nu_- c_{eq}^0 {\cal A}}{\Delta^0}} \epsilon^{3/2}_{} \Delta^{3}_{} \zeta_{m}^{}$$ =

$$\left[\vphantom{ 1 + \frac{R}{2}\left(3+\frac{\Delta \nu}{\Delta_... ...ht) - \frac{\alpha}{\Delta_0} \left(1+\nu+\frac{\nu_+\nu_-}{6} \right) }\right. {\frac{R}{2}} \left(\vphantom{3+\frac{\Delta \nu}{\Delta_0}}\right. {\frac{\Delta \nu}{\Delta_0}} \left.\vphantom{3+\frac{\Delta \nu}{\Delta_0}}\right) {\frac{\alpha}{\Delta_0}} \left(\vphantom{1+\nu+\frac{\nu_+\nu_-}{6} }\right. \nu {\frac{\nu_+\nu_-}{6}} \left.\vphantom{1+\nu+\frac{\nu_+\nu_-}{6} }\right) \left.\vphantom{ 1 + \frac{R}{2}\left(3+\frac{\Delta \nu}{\Delta_... ...ht) - \frac{\alpha}{\Delta_0} \left(1+\nu+\frac{\nu_+\nu_-}{6} \right) }\right] {\frac{3 {\cal A} \nu_+\nu_- c_{eq}^0}{\Delta^0}} \epsilon^{2}_{} \Delta^{4}_{} \zeta_{m}^{}$$ -

$$\left[\vphantom{ \frac{9}{2} {\cal A} + \frac{\nu_+ \nu_- \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^3} }\right. {\textstyle\frac{9}{2}} \cal {A} {\frac{\nu_+ \nu_- \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^3}} \left.\vphantom{ \frac{9}{2} {\cal A} + \frac{\nu_+ \nu_- \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^3} }\right] \alpha \epsilon^{3/2}_{} \Delta \left[\vphantom{ (\Delta \zeta_m)^2 }\right. \Delta \zeta_{m}^{} \left.\vphantom{ (\Delta \zeta_m)^2 }\right]$$ -

$$\alpha^{2}_{} \left[\vphantom{ c_{eq}^0 \frac{\Delta_0}{4 \nu_+ \nu_-} \left( 1 - \left(\frac{2 \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2} \right)^2 \right) }\right. {\frac{\Delta_0}{4 \nu_+ \nu_-}} \left(\vphantom{ 1 - \left(\frac{2 \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2} \right)^2 }\right. \left(\vphantom{\frac{2 \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2} }\right. {\frac{2 \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2}} \left.\vphantom{\frac{2 \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2} }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{ 1 - \left(\frac{2 \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2} \right)^2 }\right) \left.\vphantom{ c_{eq}^0 \frac{\Delta_0}{4 \nu_+ \nu_-} \left( 1 - \left(\frac{2 \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2} \right)^2 \right) }\right] \epsilon \left(\vphantom{ \Delta \zeta_m }\right. \Delta \zeta_{m}^{} \left.\vphantom{ \Delta \zeta_m }\right)^{2}_{}$$ +

$${\textstyle\frac{3}{2}} \left[\vphantom{ {\cal A} R \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} c_{eq}^0... ... 3 + \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} \right) - 3 {\cal A} \alpha c_{eq}^0 }\right. \cal {A} {\frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0}} \left(\vphantom{ 3 + \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} }\right. {\frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0}} \left.\vphantom{ 3 + \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} }\right) \cal {A} \alpha \left.\vphantom{ {\cal A} R \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} c_{eq}^0... ... 3 + \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} \right) - 3 {\cal A} \alpha c_{eq}^0 }\right] \epsilon^{2}_{} \Delta^{2}_{} \left[\vphantom{ \left( \Delta \zeta_m \right)^2 }\right. \left(\vphantom{ \Delta \zeta_m }\right. \Delta \zeta_{m}^{} \left.\vphantom{ \Delta \zeta_m }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{ \left( \Delta \zeta_m \right)^2 }\right]$$ -

$$\left[\vphantom{ 3 {\cal A} \alpha c_{eq}^0 \frac{\nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2} }\right. \cal {A} \alpha {\frac{\nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2}} \left.\vphantom{ 3 {\cal A} \alpha c_{eq}^0 \frac{\nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2} }\right] \epsilon^{2}_{} \left(\vphantom{ \Delta^2 \zeta_m }\right. \Delta^{2}_{} \zeta_{m}^{} \left.\vphantom{ \Delta^2 \zeta_m }\right)^{2}_{}$$ +

$$\alpha \left[\vphantom{6 {\cal A} - \frac{\nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2} \left( \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} \right)^2 }\right. \cal {A} {\frac{\nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2}} \left(\vphantom{ \frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0} }\right. {\frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0}} \left.\vphantom{ \frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0} }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{6 {\cal A} - \frac{\nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2} \left( \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} \right)^2 }\right] \epsilon^{2}_{} \Delta \left[\vphantom{ \left( \Delta \zeta_m \right)^3 }\right. \left(\vphantom{ \Delta \zeta_m }\right. \Delta \zeta_{m}^{} \left.\vphantom{ \Delta \zeta_m }\right)^{3}_{} \left.\vphantom{ \left( \Delta \zeta_m \right)^3 }\right]$$ + (4.89)

où nous n'avons conservé que les termes du premier ordre en R, P, et $\alpha$. La non-linéarité de l'équation de Benney ($\Delta$$\zeta_{m}^{}$)² apparaît au deuxième ordre en $\alpha$. Nous avons gardé ce terme à titre indicatif. À partir de l'équation [], le comportement d'échelle de $\zeta_{m}^{}$ et les non-linéarités pertinentes peuvent être déterminés. Trois cas se présentent :

$\bullet$ (i) Si la désorption est présente, le terme non linéaire dominant est de la forme ($\Delta$$\zeta_{m}^{}$)², ce qui nous donne pour $\zeta$, le comportement d'échelle suivant : $\zeta_{m}^{}$ $\sim$ $\epsilon$. Le préfacteur de ce terme est proportionnel à $\alpha^{2}_{}$, et donc cette non-linéarité disparaît en l'absence de désorption (ce qui est cohérent avec le fait qu'elle n'est pas compatible avec une loi de conservation).

$\bullet$ (ii) Dans le cas conservé (i.e. en l'absence de désorption), le seul terme non linéaire restant est de la forme : $\Delta^{2}_{}$[($\Delta$$\zeta_{m}^{}$)²]. Ceci implique que $\zeta$ est d'ordre un. Lorsque l'on prend la limite où l'effet Ehrlich-Schwoebel est nul, on retrouve l'équation CVM obtenue dans la section précédente.

$\bullet$ (iii) Le cas intermédiaire pour lequel la désorption est présente mais très faible est intéressant à examiner. Dans ce cas, nous ne conservons que les termes dominants proportionnels à $\alpha$ (en négligeant ceux proportionnels à $\alpha^{2}_{}$). Le terme contenant ($\Delta$$\zeta_{m}^{}$)² s'annule. Le terme non linéaire dominant est alors de la forme $\Delta$[($\zeta_{m}^{}$)²] et est du même ordre que les termes linéaires pour $\zeta_{m}^{}$ $\sim$ $\epsilon^{1/2}_{}$. Cependant, ce terme à lui seul n'assure pas un comportement admissible pour l'évolution non linéaire. En effet, il représente un nombre impair de dérivées spatiales et n'est donc pas capable de coupler efficacement les modes qui se sont développés. Dans un modèle à deux modes [#!Valance92b!#], il n'apportera que des termes imaginaires qui représentent dans l'espace réel, des termes propagatifs incapables de saturer la croissance exponentielle donnée par le régime linéaire (le taux de croissance de la perturbation est fixé par la partie réelle du taux de croissance). Ainsi, parce que ce terme non linéaire ne peut saturer la croissance exponentielle des termes linéaires, $\zeta_{m}^{}$ croît jusqu'à devenir d'ordre unité. Il devient important de prendre en considération les termes d'ordre supérieur. À cet ordre, apparaissent de nombreuses autres non-linéarités : $\Delta$[($\Delta$$\zeta_{m}^{}$)²], ($\Delta^{2}_{}$$\zeta_{m}^{}$)², $\Delta$[($\Delta$$\zeta_{m}^{}$)³] dont le préfacteur est proportionnel à $\alpha$ et disparaissent lorsque la désorption est absente, mais aussi $\Delta^{2}_{}$[($\zeta_{m}^{}$)²], la non-linéarité de l'équation CMV qui ne s'annule pas pour $\alpha$ $\rightarrow$ 0.

Maintenant que les non-linéarités pertinentes de chaque régime, ainsi que le comportement d'échelle de l'amplitude du méandre $\zeta$ ont été déterminés, nous pouvons aller plus loin et déterminer l'équation d'évolution de la surface. Les calculs sont calqués sur ceux de la section précédente : une première étape consiste à remplacer la description discrète de la surface par une représentation continue à l'aide d'une fonction $\Upsilon$ de la variable Y = - y/a telle que $\Upsilon$(Y = m) = $\zeta_{m}^{}$ puis l'équation dynamique ainsi obtenue pour $\Upsilon$ est inversée pour donner l'équation représentant la dynamique du profil $\tilde{h}$ de la surface vicinale. Nous obtenons alors trois équations dynamiques correspondant aux trois régimes invoqués plus haut.

$\bullet$ (i) Si la désorption est présente, $\tilde{h}$ $\sim$ $\epsilon$ et nous obtenons l'équation de Benney :

$$\partial_{t}^{} \tilde{h} \epsilon {\frac{\nu}{(\Delta_0)^2}} \partial_{z^2}^{} \tilde{h} \left[\vphantom{ \frac{P}{6} + 3 {\cal A} \, R \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} c_{eq}^0 }\right. {\frac{P}{6}} \cal {A} {\frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0}} \left.\vphantom{ \frac{P}{6} + 3 {\cal A} \, R \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} c_{eq}^0 }\right] \partial_{z^3}^{} \tilde{h}$$ =

$$\left[\vphantom{ 1 + \frac{R}{2} \frac{\Delta \nu}{\Delta_0} - \frac{\alpha}{\Delta_0} \left(1 + \nu + \frac{\nu_+ \nu_-}{6} \right) }\right. {\frac{R}{2}} {\frac{\Delta \nu}{\Delta_0}} {\frac{\alpha}{\Delta_0}} \left(\vphantom{1+\nu+\frac{\nu_+\nu_-}{6} }\right. \nu {\frac{\nu_+\nu_-}{6}} \left.\vphantom{1+\nu+\frac{\nu_+\nu_-}{6} }\right) \left.\vphantom{ 1 + \frac{R}{2} \frac{\Delta \nu}{\Delta_0} - \frac{\alpha}{\Delta_0} \left(1 + \nu + \frac{\nu_+ \nu_-}{6} \right) }\right] \cal {A} {\frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0}} \partial_{z^4}^{} \tilde{h}$$ -

$$\alpha^{2}_{} \left[\vphantom{1 - \left( \frac{2 \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2} \right)^2 }\right. \left(\vphantom{\frac{2 \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2} }\right. {\frac{2 \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2}} \left.\vphantom{\frac{2 \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2} }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{1 - \left( \frac{2 \nu \Delta \nu}{(\Delta_0)^2} \right)^2 }\right] {\frac{\Delta_0}{4 \nu_+ \nu_-}} \left(\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right. \partial_{z}^{} \tilde{h} \left.\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right)^{2}_{}$$ + (4.90)

En renormalisant de manière appropriée $\tilde{h}$, z et t, elle se récrit sous la forme simplifiée suivante :

$$\partial_{t}^{} \tilde{h} \partial_{z^2}^{} \tilde{h} \gamma \partial_{z^3}^{} \tilde{h} \partial_{z^4}^{} \tilde{h} \left(\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right. \partial_{z}^{} \tilde{h} \left.\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right)^{2}_{}$$ (4.91)

$\gamma$ est un paramètre, fonction des coefficients qui interviennent dans l'équation []. Cette équation a déjà été dérivée dans de nombreux contextes, notamment en ce qui concerne la dynamique des surfaces vicinales [#!Sato95a!#], [#!Sato95b!#], [#!Sato96!#], [#!Uwaha98!#]. Elle peut conduire à une dynamique chaotique mais si le terme propagatif est important (ce qui est ici le cas, proche du seuil de l'instabilité), elle donne naissance à une structure régulière de solitons équidistants dérivant le long de la surface. Pour la surface vicinale, cela signifie que des paquets de marches se forment, dérivent le long de la surface mais restent régulièrement répartis. Il y a donc sélection d'une longueur d'onde privilégiée correspondant à celle du mode le plus instable linéairement.

$\bullet$ (ii) Si la désorption est absente ($\alpha$ = 0), alors $\tilde{h}$ $\sim$ 1 et la dynamique de la surface est donnée par l'équation suivante :

$$\partial_{t}^{} \tilde{h} \epsilon {\frac{\nu}{(\Delta_0)^2}} \partial_{z^2}^{} \tilde{h} \left[\vphantom{ \frac{P}{6} + 3 {\cal A} R \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} c_{eq}^0 }\right. {\frac{P}{6}} \cal {A} {\frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0}} \left.\vphantom{ \frac{P}{6} + 3 {\cal A} R \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} c_{eq}^0 }\right] \partial_{z^3}^{} \tilde{h}$$ =

$$\left[\vphantom{ 1 + \frac{R}{2} \frac{\Delta \nu}{\Delta_0} - \frac{\alpha}{\Delta_0} \left(1 + \nu + \frac{\nu_+ \nu_-}{6} \right) }\right. {\frac{R}{2}} {\frac{\Delta \nu}{\Delta_0}} {\frac{\alpha}{\Delta_0}} \left(\vphantom{1+\nu+\frac{\nu_+\nu_-}{6} }\right. \nu {\frac{\nu_+\nu_-}{6}} \left.\vphantom{1+\nu+\frac{\nu_+\nu_-}{6} }\right) \left.\vphantom{ 1 + \frac{R}{2} \frac{\Delta \nu}{\Delta_0} - \frac{\alpha}{\Delta_0} \left(1 + \nu + \frac{\nu_+ \nu_-}{6} \right) }\right] \cal {A} {\frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0}} \partial_{z^4}^{} \tilde{h}$$ -

$$\left[\vphantom{ \frac{P}{4} + \frac{3}{2} {\cal A} c_{eq}^0 \left( 3 \alpha - R \left( \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} \right)^2 \right) }\right. {\frac{P}{4}} {\textstyle\frac{3}{2}} \cal {A} \left(\vphantom{ 3 \alpha - R \left( \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} \right)^2 }\right. \alpha \left(\vphantom{ \frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0} }\right. {\frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0}} \left.\vphantom{ \frac{\nu_+\nu_-}{\Delta_0} }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{ 3 \alpha - R \left( \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} \right)^2 }\right) \left.\vphantom{ \frac{P}{4} + \frac{3}{2} {\cal A} c_{eq}^0 \left( 3 \alpha - R \left( \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta_0} \right)^2 \right) }\right] \partial_{z^2}^{} \left[\vphantom{ \left( \partial_z {\tilde h} \right)^2 }\right. \left(\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right. \partial_{z}^{} \tilde{h} \left.\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{ \left( \partial_z {\tilde h} \right)^2 }\right]$$ + (4.92)

qui prend la forme allégée suivante après une renormalisation appropriée de $\tilde{h}$, z et t :

$$\partial_{t}^{} \tilde{h} \partial_{z^2}^{} \tilde{h} \gamma \partial_{z^3}^{} \tilde{h} \partial_{z^4}^{} \tilde{h} \partial_{z^2}^{} \left[\vphantom{ \left( \partial_z {\tilde h} \right)^2 }\right. \left(\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right. \partial_{z}^{} \tilde{h} \left.\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{ \left( \partial_z {\tilde h} \right)^2 }\right]$$ (4.93)

C'est l'équation CMV examinée dans la section précédente (cf. éq. []), dont la dynamique conduit à un processus de mûrissement.

$\bullet$ (iii) Si la désorption est présente mais très faible, les termes proportionnels à $\alpha^{2}_{}$ peuvent être négligées. La dynamique obéit à une équation comprenant de nombreuses non-linéarités prenant la forme, après une renormalisation adéquate des variables spatiales et temporelles :

$$\partial_{t}^{} \tilde{h} \partial_{z^2}^{} \tilde{h} \partial_{z^3}^{} \tilde{h} \partial_{z^4}^{} \tilde{h} \partial_{z^2}^{} \left[\vphantom{ (\partial_z {\tilde h})^2 }\right. \partial_{z}^{} \tilde{h} \left.\vphantom{ (\partial_z {\tilde h})^2 }\right]$$ =

$$\bf\alpha \partial_{z}^{} \left[\vphantom{ (\partial_z {\tilde h})^2 }\right. \partial_{z}^{} \tilde{h} \left.\vphantom{ (\partial_z {\tilde h})^2 }\right] \bf\alpha \left(\vphantom{ \partial_{z^2} {\tilde h} }\right. \partial_{z^2}^{} \tilde{h} \left.\vphantom{ \partial_{z^2} {\tilde h} }\right)^{2}_{} \bf\alpha \partial_{z}^{} \left[\vphantom{ (\partial_z {\tilde h} )^3 }\right. \partial_{z}^{} \tilde{h} \left.\vphantom{ (\partial_z {\tilde h} )^3 }\right]$$ (4.94)

où a, b, c et d sont des constantes dépendant des paramètres physiques du système. Pour $\alpha$ = 0, nous retrouvons l'équation CMV qui conduit comme nous l'avons vu à un processus de mûrissement suivant une loi de puissance t^1/2 et ne donnant lieu à aucune sélection de longueur d'onde. Dans ce cas, le processus de mûrissement ne semble pas manifester de signe de saturation. Pour des valeurs finies de $\alpha$, la dynamique commence par un processus de mûrissement comme dans le cas de l'équation CMV mais après un certain temps t_$\alpha$, dépendant du taux de désorption $\alpha$, le processus de mûrissement s'arrête et une longueur d'onde est sélectionnée. Plus $\alpha$ est grand, plus t_$\alpha$ est petit, et donc moins le mûrissement est important. Ainsi, si $\alpha$ est suffisamment grand, la longueur d'onde sélectionnée est très proche de celle du mode le plus instable linéairement et la dynamique est proche de celle produite par l'équation de Benney (on observe alors un arrangement régulier de paquets dérivant le long de la surface). Au fur et à mesure que $\alpha$ décroît, le processus de mûrissement devient de plus en plus important ; la longueur d'onde sélectionnée par le système l'est de plus en plus tard et augmente avec la décroissance de $\alpha$. Les différents comportements dynamiques de l'équation [] pour a = b = c = d = 1 et différentes valeurs de $\alpha$ sont présentés sur la figure [] ; la figure [] montrant quant à elle l'évolution temporelle des longueurs d'onde caractéristiques des structures formées.

Figure: Évolution temporelle de la longueur d'onde caractéristique de la structure obtenue à partir de simulations numériques de l'équation [] pour différentes valeurs de $\alpha$.

Figure: Portraits spatio-temporels obtenus par simulation numérique de l'équation [] pour a = b = c = d = 1 et différentes valeurs de $\alpha$. L'axe vertical représente le temps et l'axe horizontal z en unités arbitraires. La hauteur de la surface est représentée en dégradé de couleur. Comme indiqué sur la figure [], les paquets de marches sont alors localisés en bordure droite des zones sombres.

$\alpha$ = 0, 0	$\alpha$ = 0, 025	$\alpha$ = 0, 05
$\alpha$ = 0, 1	$\alpha$ = 0, 15	$\alpha$ = 0, 2