Termes sous-dominants

Dès lors la question se pose naturellement de savoir si les termes d'ordre supérieur peuvent remédier au comportement pathologique à temps long décrit ci-dessus. C'est ce que nous nous proposons de faire dans cette section. Le développement précédent peut être poursuivi afin de déterminer les contributions d'ordre supérieur qui interviennent dans l'équation d'evolution.

Pour cela, nous reprenons le développement de l'équation [] et le poussons plus loin dans les ordres en $\epsilon$. On aboutit alors à l'équation dynamique suivante pour $\zeta_{m}^{}$ :

$$\partial_{t}^{} \zeta_{m}^{} {\frac{\zeta_{m+1}-\zeta_{m-1}}{2}} {\frac{3 \, R \, \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0 \, {\cal A}}{\Delta^0}} \delta^{3}_{} \zeta_{m}^{}$$ =

$${\frac{\left[ 2 R \nu_+\nu_- c_{eq}^0 - P \Delta \nu \right]}{2}} {\frac{\nu_++\nu_-}{(\Delta^0)^2}} \left(\vphantom{ \delta^2 \zeta_m - \frac{\nu_+\nu_-}{\Delta^0} \... ...^0} \right)^2 \, \delta \left[ \left( \delta \zeta_m \right)^3 \right] }\right. \delta^{2}_{} \zeta_{m}^{} {\frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta^0}} \delta \left[\vphantom{ \left( \delta \zeta_m \right)^2 }\right. \left(\vphantom{ \delta \zeta_m }\right. \delta \zeta_{m}^{} \left.\vphantom{ \delta \zeta_m }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{ \left( \delta \zeta_m \right)^2 }\right] \left(\vphantom{ \frac{\nu_+\nu_-}{\Delta^0} }\right. {\frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta^0}} \left.\vphantom{ \frac{\nu_+\nu_-}{\Delta^0} }\right)^{2}_{} \delta \left[\vphantom{ \left( \delta \zeta_m \right)^3 }\right. \left(\vphantom{ \delta \zeta_m }\right. \delta \zeta_{m}^{} \left.\vphantom{ \delta \zeta_m }\right)^{3}_{} \left.\vphantom{ \left( \delta \zeta_m \right)^3 }\right] \left.\vphantom{ \delta^2 \zeta_m - \frac{\nu_+\nu_-}{\Delta^0} \... ...^0} \right)^2 \, \delta \left[ \left( \delta \zeta_m \right)^3 \right] }\right)$$

$${\frac{3 \, {\cal A} \, \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0}{\Delta^0}} \left(\vphantom{ 1 + \frac{R}{2} \left( 3 + \frac{\Delta \nu}{\Delta^0} \right) }\right. {\frac{R}{2}} \left(\vphantom{ 3 + \frac{\Delta \nu}{\Delta^0} }\right. {\frac{\Delta \nu}{\Delta^0}} \left.\vphantom{ 3 + \frac{\Delta \nu}{\Delta^0} }\right) \left.\vphantom{ 1 + \frac{R}{2} \left( 3 + \frac{\Delta \nu}{\Delta^0} \right) }\right) \delta^{4}_{} \zeta_{m}^{}$$ -

$${\textstyle\frac{3}{2}} \left(\vphantom{ 3 + \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta^0} }\right. {\frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta^0}} \left.\vphantom{ 3 + \frac{\nu_+ \nu_-}{\Delta^0} }\right) {\frac{R \, {\cal A} \, \nu_+ \nu_- \, c_{eq}^0}{\Delta^0}} \delta^{2}_{} \left[\vphantom{ \left( \delta \zeta_m \right)^2 }\right. \left(\vphantom{ \delta \zeta_m }\right. \delta \zeta_{m}^{} \left.\vphantom{ \delta \zeta_m }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{ \left( \delta \zeta_m \right)^2 }\right]$$ -

$$\epsilon^{7/2}_{} \cal {A} \epsilon^{5/2}_{}$$ (4.66)

où nous n'avons concervé que les contributions pertinentes pour la dynamique ; les termes linéaires d'ordre supérieurs à $\epsilon^{2}_{}$ ont notamment été omis.

Le reste du calcul est identique à ce qui a été effectué précédemment et conduit, après renormalisation des variables spatiales et temporelles, à l'équation suivante pour la dynamique de la surface :

$$\partial_{t}^{} \tilde{h} \partial_{z^2}^{} \tilde{h} \gamma \partial_{z^3}^{} \tilde{h} \partial_{z^4}^{} \tilde{h} \partial_{z^2}^{} \left[\vphantom{ \left( \partial_z {\tilde h} \right)^2 }\right. \left(\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right. \partial_{z}^{} \tilde{h} \left.\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{ \left( \partial_z {\tilde h} \right)^2 }\right]$$ =

$$\hat{a} \epsilon^{1/2}_{} \partial_{z}^{} \left[\vphantom{ \left( \partial_z {\tilde h} \right)^2 }\right. \left(\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right. \partial_{z}^{} \tilde{h} \left.\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right)^{2}_{} \left.\vphantom{ \left( \partial_z {\tilde h} \right)^2 }\right] \hat{b} \epsilon \partial_{z}^{} \left[\vphantom{ \left( \partial_z {\tilde h} \right)^3 }\right. \left(\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right. \partial_{z}^{} \tilde{h} \left.\vphantom{ \partial_z {\tilde h} }\right)^{3}_{} \left.\vphantom{ \left( \partial_z {\tilde h} \right)^3 }\right]$$ + (4.67)

où $\gamma$ est défini par l'éq.[] et $\hat{a}$, $\hat{b}$ sont des constantes que nous n'expliciterons pas ici mais qui dépendent des coefficients de l'équation [].

Nous avons intégré numériquement l'équation []. Afin de bien mettre en évidence les effets des termes supplémentaires, ces simulations ont été effectuées avec $\gamma$ = $\hat{a}$ = $\hat{b}$ = 1 et $\epsilon$ = 1. Les résultats de ces simulations sont reportés sur la figure [].

Figure: Lois de mûrissement $\lambda$ $\sim$ t^{0, 3} et de rugosité w $\sim$ t^{0, 3} obtenues à partir des simulations numériques de l'équation [].

a) Longueur d'onde caractéristique	b) Rugosité

Les résultats numériques sont satisfaisants. On observe à temps long des comportements d'échelle pour la rugosité ainsi que la longueur d'onde caractéristique du profil de la surface. Les exposants de rugosité $\Xi$ et de mûrissement $\Theta$ sont quasiment égaux, comme on se doit de l'attendre pour une surface vicinale. L'équation [] est bien l'équation pertinente qui rend compte à temps long de la dynamique de mûrissement de la surface vicinale.

Le tableau de la dynamique de l'instabilité de mise en paquets des marches sur une surface vicinale, en l'absence de désorption est complet. On a identifié deux régimes dynamiques distincts. Lors de l'instabilité, la surface obéit tout d'abord à une dynamique donnée par l'équation []. On observe alors un processus de mûrissement lors duquel la longueur d'onde caractéristique des modulations de la surface suit une loi de puissance en t^1/2. L'amplitude des modulations augmente dans le temps comme la rugosité en t^3/2. Il se produit alors un cross-over vers un second régime dynamique décrit par l'équation [] lorsque les non-linéarités d'ordre sous-dominant deviennent pertinentes. Dans ce second régime les exposants de rugosité et de mûrissement sont égaux ; la structure du profil de la surface est alors self-similaire.

Le cross-over entre ces deux régimes dynamiques dépend du paramètre $\epsilon$ ; il serait intéressant par la suite de mener une étude approfondie de ce cross-over.