Solution stationnaire uniforme

La base de notre étude est le train uniforme de marches droites. La vitesse stationnaire V₀ du train de marche est donnée par une loi de conservation globale de la matière :

$$\Omega \ell$$ (B.1)

La position de la marche m est donnée par $\tilde{z}_{m}^{}$ = m$\ell$ + V₀t dans le repère fixe du laboratoire. Elle s'écrit z_m = m$\ell$ dans un repère mobile se déplaçant avec le train de marche à vitesse V₀. La première étape consiste à déterminer le profil de concentration c_m⁰ sur la terrasse m.

$\bullet$ En faisant usage de l'approximation quasi statique et en considérant les effets advectifs négligeables, l'équation [] nous donne, en l'absence de désorption :

$${\frac{\partial^2 c_m^0}{\partial z^2}}$$ (B.2)

ce qui permet de déterminer :

$${\frac{F}{2\,D}} \ell \ell$$ (B.3)

$\bullet$ Les équations aux limites (cf éq. [] et []) conduisent à :

$${\frac{\partial c_m^0}{\partial z}} \left(\vphantom{m\ell }\right. \ell \left.\vphantom{m\ell }\right) \nu_{+}^{} \left[\vphantom{ c_m^0 \left(m\ell \right) - c_{eq}^0 }\right. \left(\vphantom{m\ell }\right. \ell \left.\vphantom{m\ell }\right) \left.\vphantom{ c_m^0 \left(m\ell \right) - c_{eq}^0 }\right]$$ = (B.4)

$${\frac{\partial c_m^0}{\partial z}} \left(\vphantom{(m+1)\ell }\right. \ell \left.\vphantom{(m+1)\ell }\right) \nu_{-}^{} \left[\vphantom{ c_m^0 \left((m+1)\ell \right) - c_{eq}^0 }\right. \left(\vphantom{(m+1)\ell }\right. \ell \left.\vphantom{(m+1)\ell }\right) \left.\vphantom{ c_m^0 \left((m+1)\ell \right) - c_{eq}^0 }\right]$$ = (B.5)

et permettent de déterminer les constantes d'intégration A_m⁰ et B_m⁰ :

$${\frac{F\ell}{2\, D}} \left(\vphantom{ 1 + D \frac{\Delta \nu}{\Delta^0} }\right. {\frac{\Delta \nu}{\Delta^0}} \left.\vphantom{ 1 + D \frac{\Delta \nu}{\Delta^0} }\right)$$ A_m⁰ = A⁰ = (B.6)

$${\frac{F\ell}{2}} \left(\vphantom{\frac{2 \, D + \nu_- \, \ell}{\Delta^0} }\right. {\frac{2 \, D + \nu_- \, \ell}{\Delta^0}} \left.\vphantom{\frac{2 \, D + \nu_- \, \ell}{\Delta^0} }\right)$$ B_m⁰ = B⁰ = (B.7)

où $\Delta$$\nu$ = $\nu_{+}^{}$ - $\nu_{-}^{}$ et $\Delta^{0}_{}$ = ($\nu_{+}^{}$ + $\nu_{-}^{}$)D + $\nu_{+}^{}$$\nu_{-}^{}$$\ell$.

$\bullet$ L'équation de conservation de la matière [] nous donne quant à elle, la vitesse stationnaire : V₀ = $\Omega$F$\ell$.

Le train de marches est alors perturbé par une perturbation infinitésimale $\varepsilon$ $\zeta$ telle que la position de la marche m s'écrive dans le repère mobile se déplaçant à vitesse V₀ : z_m(x, t) = m$\ell$ + $\varepsilon$ $\zeta_{m}^{}$(x, t). Le champ de concentration sur les terrasses subit cette perturbation. Conformément à la théorie de la perturbation linéaire, le champ de concentration c_m sur la terrasse m prend la forme : c_m(x, z, t) = c_m⁰(z) + $\varepsilon$ $\zeta_{m}^{}$(x, t) c_m¹(z).