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Réponse linéaire à la perturbation

La perturbation du train de marches $\zeta_{m}^{}$ (x, t) peut se décomposer sur une base de Fourier :

$\displaystyle \zeta_{m}^{}$ (x, t) = $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}$ $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}$ $\displaystyle \zeta_{\phi,q}^{}$ (t) e^{im + iqx} d $\displaystyle \phi$ dq ,

(B.8)

où $\zeta_{\phi,q}^{}$ (t) est par définition la transformée de Fourier de $\zeta_{m}^{}$ (x, t) par rapport aux variables x et m. La variable m étant discrète, la variable associée $\phi$ dans l'espace de Fourier peut être considérée comme une phase $\in$ [0, 2 $\pi$ ].

La réponse temporelle du train de marches est caractérisée par la pulsation $\omega$ , variable conjuguée au temps t dans une transformation de Laplace ; on a alors :

$\displaystyle \zeta_{m}^{}$ (x, t) = $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}$ $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}$ $\displaystyle \zeta_{\omega,\phi,q}^{}$ e^{t + im + iqx} d $\displaystyle \phi$ dq d $\displaystyle \omega$ ,

(B.9)

où $\zeta_{\omega,\phi,q}^{}$ est la transformée de Laplace de $\zeta_{\phi,q}^{}$ (t) par rapport au temps. L'intérêt d'une transformation de Laplace en temps est de pouvoir rendre compte de l'atténuation ou de l'amplification de la perturbation au cours du temps.

Les différents modes ne se couplant pas dans une analyse linéaire, on étudiera la réponse $\omega$ du système à un mode de Fourier ( $\phi$ , q), soit :

$\displaystyle \zeta_{m}^{}$ (x, t) = $\displaystyle \zeta_{\omega,\phi,q}^{}$ e^{wt + im + iqx} .

(B.10)

Les équations constitutives du modèle sont alors résolues ordre par ordre en $\varepsilon$ . L'ordre $\varepsilon^{0}_{}$ nous redonne la solution stationnaire et l'ordre $\varepsilon$ permet de déterminer $\omega$ , c'est-à-dire, la réponse linéaire du train de marches à la perturbation.

$\bullet$ L'équation de diffusion sur les terrasses nous donne :

D $\displaystyle \Delta$ c_m + F = 0 ;

(B.11)

soit

D $\displaystyle {\frac{\partial^2 c_m^0}{\partial z^2}}$ + D $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle \zeta_{m}^{}$ $\displaystyle {\frac{\partial^2 c_m^1}{\partial z^2}}$ - D $\displaystyle \varepsilon$ q² $\displaystyle \zeta_{m}^{}$ c_m¹ + F = 0 ,

(B.12)

car $\partial$ $\zeta_{m}^{}$ / $\partial$ x = iq $\zeta_{m}^{}$ . Le champ de concentration perturbé c_m¹ obéit donc à l'équation suivante :

$\displaystyle {\frac{\partial^2 c_m^1}{\partial z^2}}$ - q c_m¹ = 0 ;

(B.13)

dont la solution générale peut s'écrire :

c_m¹(z) = A_m¹ e^{q(z - m)} + B_m¹ e^{-q(z - m)} .

(B.14)

$\bullet$ Les équations aux limites (cf éq. [] et []) vont nous permettre de déterminer les constantes d'intégration A_m¹ et B_m¹.

L'équation cinétique [] nous donne la première condition limite au niveau de la marche m :

$\displaystyle {\frac{D}{\sqrt{1 + \left(\varepsilon \partial_x \zeta_m \right)^2}}}$ $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{}{} \partial_z c_m - \left(\varepsilon \partial_x \zeta_m \right) \, \partial_x c_m }\right.$ $\displaystyle {\frac{}{}}$ $\displaystyle \partial_{z}^{}$ c_m - $\displaystyle \left(\vphantom{\varepsilon \partial_x \zeta_m }\right.$ $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle \partial_{x}^{}$ $\displaystyle \zeta_{m}^{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\varepsilon \partial_x \zeta_m }\right)$ $\displaystyle \partial_{x}^{}$ c_m $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{}{} \partial_z c_m - \left(\varepsilon \partial_x \zeta_m \right) \, \partial_x c_m }\right]$ (z_m)

$\displaystyle \nu_{+}^{}$ $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{}{} c_m(z_m) - c_{eq_m} }\right.$ $\displaystyle {\frac{}{}}$ c_m(z_m) - c_{eq_m} $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{}{} c_m(z_m) - c_{eq_m} }\right]$ .

Par soucis de commodité, nous avons noté $\partial$ c_m/ $\partial$ z par $\partial_{z}^{}$ c_m.

En faisant usage de ce que :

c_m(z_m)	=	c_m⁰(z_m) + $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle \zeta_{m}^{}$ c_m¹(z_m)
	=	c_m⁰(m $\displaystyle \ell$ ) + $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle \zeta_{m}^{}$ $\displaystyle {\frac{\partial c_m^0}{\partial z}}$ (m $\displaystyle \ell$ ) + $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle \zeta_{m}^{}$ c_m¹(m $\displaystyle \ell$ ) + O( $\displaystyle \varepsilon^{2}_{}$ ) .	(B.15)

et en explicitant la concentration d'équilibre c_{eq_m} qui prend en compte l'énergie de courbure de la marche :

c_{eq_m}

c_eq⁰ $\displaystyle \left(\vphantom{ 1 + \Gamma \, \kappa_m }\right.$ 1 + $\displaystyle \Gamma$ $\displaystyle \kappa_{m}^{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ 1 + \Gamma \, \kappa_m }\right)$ ,

(B.16)

où $\kappa_{m}^{}$ est la courbure de la marche m :

$\displaystyle \kappa_{m}^{}$

- $\displaystyle {\frac{\partial_{xx} z_m}{\left(1+ (\partial_x z_m)^2 \right)^{3/2}}}$ ,

(B.17)

d'où :

c_{eq_m} = c_eq⁰ $\displaystyle \left(\vphantom{ 1 + \varepsilon \, q^2 \, \Gamma \, \zeta_m }\right.$ 1 + $\displaystyle \varepsilon$ q² $\displaystyle \Gamma$ $\displaystyle \zeta_{m}^{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ 1 + \varepsilon \, q^2 \, \Gamma \, \zeta_m }\right)$ + O( $\displaystyle \varepsilon^{2}_{}$ ) ,

(B.18)

la contribution d'ordre $\varepsilon$ de l'équation [

] conduit alors à :

$\displaystyle \partial_{z^2}^{}$ c_m⁰(m $\displaystyle \ell$ ) + $\displaystyle \partial_{z}^{}$ c_m¹(m $\displaystyle \ell$ ) = $\displaystyle {\frac{\nu_+}{D}}$ $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{}{} \partial_z c_m^0(m\ell) + c_m^1(m\ell) - q^2 \, \Gamma \, c_{eq}^0 }\right.$ $\displaystyle {\frac{}{}}$ $\displaystyle \partial_{z}^{}$ c_m⁰(m $\displaystyle \ell$ ) + c_m¹(m $\displaystyle \ell$ ) - q² $\displaystyle \Gamma$ c_eq⁰ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{}{} \partial_z c_m^0(m\ell) + c_m^1(m\ell) - q^2 \, \Gamma \, c_{eq}^0 }\right]$ .

(B.19)

Ceci nous donne finalement :

$\displaystyle \left(\vphantom{q -\frac{\nu_+}{D} }\right.$ q - $\displaystyle {\frac{\nu_+}{D}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{q -\frac{\nu_+}{D} }\right)$ A_m¹ - $\displaystyle \left(\vphantom{ q + \frac{\nu_+}{D} }\right.$ q + $\displaystyle {\frac{\nu_+}{D}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ q + \frac{\nu_+}{D} }\right)$ B_m¹ = $\displaystyle \alpha$ ,

(B.20)

où nous avons posé :

$\displaystyle \alpha$ = - $\displaystyle {\frac{\nu_+}{D}}$ $\displaystyle \Gamma$ c_eq⁰ q² + $\displaystyle {\frac{F}{D}}$ + $\displaystyle {\frac{\nu_+ \, A^0}{D}}$ .

(B.21)

L'équation cinétique [] nous donne la deuxième condition limite :

$\displaystyle {\frac{D}{\sqrt{1 + \left(\varepsilon \partial_x \zeta_{m+1} \right)^2}}}$ $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{}{} \partial_z c_m - \left(\varepsilon \partial_x \zeta_{m+1} \right) \, \partial_x c_m }\right.$ $\displaystyle {\frac{}{}}$ $\displaystyle \partial_{z}^{}$ c_m - $\displaystyle \left(\vphantom{\varepsilon \partial_x \zeta_{m+1} }\right.$ $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle \partial_{x}^{}$ $\displaystyle \zeta_{m+1}^{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\varepsilon \partial_x \zeta_{m+1} }\right)$ $\displaystyle \partial_{x}^{}$ c_m $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{}{} \partial_z c_m - \left(\varepsilon \partial_x \zeta_{m+1} \right) \, \partial_x c_m }\right]$ (z_{m + 1})	=	- $\displaystyle \nu_{-}^{}$ $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{}{} c_m(z_{m+1}) - c_{eq_{m+1}} }\right.$ $\displaystyle {\frac{}{}}$ c_m(z_{m + 1}) - c_{eq_{m + 1}} $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{}{} c_m(z_{m+1}) - c_{eq_{m+1}} }\right]$ .
			(B.22)

De même que précédemment, la concentration en bord de marche est développée au premier ordre en $\varepsilon$ :

c_m(z_{m + 1})	=	c_m⁰(z_{m + 1}) + $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle \zeta_{m}^{}$ c_m¹(z_{m + 1})
	=	c_m⁰((m + 1) $\displaystyle \ell$ ) + $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle \zeta_{m+1}^{}$ $\displaystyle {\frac{\partial c_m^0}{\partial z}}$ ((m + 1) $\displaystyle \ell$ ) + $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle \zeta_{m}^{}$ c_m¹((m + 1) $\displaystyle \ell$ ) + O( $\displaystyle \varepsilon^{2}_{}$ ) .
			(B.23)

La concentration d'équilibre en bord de marche s'écrit quant à elle :

c_{eq_{m + 1}} = c_eq⁰ $\displaystyle \left(\vphantom{ 1 + \varepsilon \, q^2 \, \Gamma \, \zeta_{m+1} }\right.$ 1 + $\displaystyle \varepsilon$ q² $\displaystyle \Gamma$ $\displaystyle \zeta_{m+1}^{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ 1 + \varepsilon \, q^2 \, \Gamma \, \zeta_{m+1} }\right)$ + O( $\displaystyle \varepsilon^{2}_{}$ ) .

(B.24)

Il reste à prendre en compte que $\zeta_{m+1}^{}$ = eⁱ $\zeta_{m}^{}$ .

La contribution d'ordre $\varepsilon$ de l'équation [] conduit alors à :

eⁱ $\displaystyle \partial_{z^2}^{}$ c_m⁰((m + 1) $\displaystyle \ell$ ) + $\displaystyle \partial_{z}^{}$ c_m¹((m + 1) $\displaystyle \ell$ )	=
		- $\displaystyle {\frac{\nu_-}{D}}$ $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{}{} e^{i\phi} \, \partial_z c_m^0((m+1)\ell) + c_m^1((m+1)\ell) - q^2 \, e^{i\phi} \, \Gamma \, c_{eq}^0 }\right.$ $\displaystyle {\frac{}{}}$ eⁱ $\displaystyle \partial_{z}^{}$ c_m⁰((m + 1) $\displaystyle \ell$ ) + c_m¹((m + 1) $\displaystyle \ell$ ) - q² eⁱ $\displaystyle \Gamma$ c_eq⁰ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{}{} e^{i\phi} \, \partial_z c_m^0((m+1)\ell) + c_m^1((m+1)\ell) - q^2 \, e^{i\phi} \, \Gamma \, c_{eq}^0 }\right]$ ,
			(B.25)

ce qui nous donne finalement :

$\displaystyle \left(\vphantom{q +\frac{\nu_-}{D} }\right.$ q + $\displaystyle {\frac{\nu_-}{D}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{q +\frac{\nu_-}{D} }\right)$ e^q A_m¹ - $\displaystyle \left(\vphantom{ q - \frac{\nu_-}{D} }\right.$ q - $\displaystyle {\frac{\nu_-}{D}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ q - \frac{\nu_-}{D} }\right)$ e^-q B_m¹ = eⁱ $\displaystyle \beta$ ,

(B.26)

où nous avons posé :

$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{\nu_-}{D}}$ $\displaystyle \Gamma$ c_eq⁰ q² + $\displaystyle {\frac{F}{D}}$ - $\displaystyle {\frac{\nu_- \, A^0}{D}}$ + $\displaystyle {\frac{F \ell _nu_-}{D^2}}$ .

(B.27)

Les équations [] et [] nous permettent de déterminer les constantes A_m¹ et B_m¹ :

A_m¹ = A¹	=	$\displaystyle {\frac{1}{\Delta^1}}$ $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{}{} \left(q + \frac{\nu_+}{D} \right)\, e^... ... \, \beta - \left( q - \frac{\nu_-}{D} \right) \, e^{-q\ell} \, \alpha }\right.$ $\displaystyle {\frac{}{}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ q + \frac{\nu_+}{D} }\right.$ q + $\displaystyle {\frac{\nu_+}{D}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ q + \frac{\nu_+}{D} }\right)$ eⁱ $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \left(\vphantom{ q - \frac{\nu_-}{D} }\right.$ q - $\displaystyle {\frac{\nu_-}{D}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ q - \frac{\nu_-}{D} }\right)$ e^-q $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{}{} \left(q + \frac{\nu_+}{D} \right)\, e^... ... \, \beta - \left( q - \frac{\nu_-}{D} \right) \, e^{-q\ell} \, \alpha }\right]$ ,	(B.28)
B_m¹ = B¹	=	$\displaystyle {\frac{1}{\Delta^1}}$ $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{}{} \left(q - \frac{\nu_+}{D} \right)\, e^... ...} \, \beta - \left( q + \frac{\nu_-}{D} \right) \, e^{q\ell} \, \alpha }\right.$ $\displaystyle {\frac{}{}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{q -\frac{\nu_+}{D} }\right.$ q - $\displaystyle {\frac{\nu_+}{D}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{q -\frac{\nu_+}{D} }\right)$ eⁱ $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \left(\vphantom{q +\frac{\nu_-}{D} }\right.$ q + $\displaystyle {\frac{\nu_-}{D}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{q +\frac{\nu_-}{D} }\right)$ e^q $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{}{} \left(q - \frac{\nu_+}{D} \right)\, e^... ...} \, \beta - \left( q + \frac{\nu_-}{D} \right) \, e^{q\ell} \, \alpha }\right]$ ,	(B.29)

où

$\displaystyle \Delta^{1}_{}$ = 2 sh(q $\displaystyle \ell$ ) $\displaystyle \left(\vphantom{ q^2 + \frac{\nu_+\nu_-}{D} }\right.$ q² + $\displaystyle {\frac{\nu_+\nu_-}{D}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ q^2 + \frac{\nu_+\nu_-}{D} }\right)$ + 2 $\displaystyle {\frac{q}{D}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ \nu_++\nu_- }\right.$ $\displaystyle \nu_{+}^{}$ + $\displaystyle \nu_{-}^{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \nu_++\nu_- }\right)$ ch(q $\displaystyle \ell$ ) .

(B.30)

$\bullet$ Finalement, la pulsation $\omega$ est déterminée par l'équation [] de conservation de la masse aux marches. À l'ordre $\varepsilon$ , celle-ci conduit à :

$\displaystyle \omega$	=	$\displaystyle \Omega$ D $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{}{} \partial_{z^2} c_m^0 (m\ell) + \partia... ...ial_{z^2} c_{m-1}^0(m\ell) - e^{-i\phi} \, \partial_z c_{m-1}^1(m\ell) }\right.$ $\displaystyle {\frac{}{}}$ $\displaystyle \partial_{z^2}^{}$ c_m⁰(m $\displaystyle \ell$ ) + $\displaystyle \partial_{z}^{}$ c_m¹(m $\displaystyle \ell$ ) - $\displaystyle \partial_{z^2}^{}$ c_{m - 1}⁰(m $\displaystyle \ell$ ) - e^-i $\displaystyle \partial_{z}^{}$ c_{m - 1}¹(m $\displaystyle \ell$ ) $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{}{} \partial_{z^2} c_m^0 (m\ell) + \partia... ...ial_{z^2} c_{m-1}^0(m\ell) - e^{-i\phi} \, \partial_z c_{m-1}^1(m\ell) }\right]$ - a D_L $\displaystyle \Gamma$ q⁴ ,
			(B.31)

soit :

$\displaystyle \omega$	=	$\displaystyle \Omega$ D $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{}{} \left(q \, A^1 - q \, B^1 \right) - e^{i\phi} \, \left( q \, e^{q\ell}\, A^1 - q \, e^{-q\ell} \, B^1 \right) }\right.$ $\displaystyle {\frac{}{}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{q \, A^1 - q \, B^1 }\right.$ q A¹ - q B¹ $\displaystyle \left.\vphantom{q \, A^1 - q \, B^1 }\right)$ - eⁱ $\displaystyle \left(\vphantom{ q \, e^{q\ell}\, A^1 - q \, e^{-q\ell} \, B^1 }\right.$ q e^q A¹ - q e^-q B¹ $\displaystyle \left.\vphantom{ q \, e^{q\ell}\, A^1 - q \, e^{-q\ell} \, B^1 }\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{}{} \left(q \, A^1 - q \, B^1 \right) - e^{i\phi} \, \left( q \, e^{q\ell}\, A^1 - q \, e^{-q\ell} \, B^1 \right) }\right]$ - a D_L $\displaystyle \Gamma$ q⁴ .
			(B.32)

et, en utilisant les expressions de A¹ et B¹ :

$\displaystyle \omega$	=	2 $\displaystyle \Omega$ D q² ( $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ )sh(q $\displaystyle \ell$ ) + 2 $\displaystyle \Omega$ q ( $\displaystyle \nu_{-}^{}$ $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \nu_{+}^{}$ $\displaystyle \beta$ ) $\displaystyle \left[\vphantom{ {\rm ch}(q\ell) - _cos(\phi) }\right.$ ch(q $\displaystyle \ell$ ) - _cos( $\displaystyle \phi$ ) $\displaystyle \left.\vphantom{ {\rm ch}(q\ell) - _cos(\phi) }\right]$ - a D_L $\displaystyle \Gamma$ q⁴
	+	2 i sin( $\displaystyle \phi$ ) $\displaystyle \Omega$ q ( $\displaystyle \nu_{+}^{}$ $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \nu_{-}^{}$ $\displaystyle \alpha$ ) .	(B.33)

Après quelques manipulations algébriques nous obtenons :

$\displaystyle \Re$ e( $\displaystyle \omega$ )	=	- $\displaystyle \Gamma$ q² $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{2 \, D_S}{\Delta^1} \left( q^2 (\frac{\nu_... ...+\nu_-}{D^2}) ({\rm ch}(q\ell) - \cos(\phi)) \right) + a \, D_L \, q^2 }\right.$ $\displaystyle {\frac{2 \, D_S}{\Delta^1}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ q^2 (\frac{\nu_++\nu_-}{D}) {\rm sh}(q\ell) + 2 \, q (\frac{\nu_+\nu_-}{D^2}) ({\rm ch}(q\ell) - \cos(\phi)) }\right.$ q²( $\displaystyle {\frac{\nu_++\nu_-}{D}}$ )sh(q $\displaystyle \ell$ ) + 2 q( $\displaystyle {\frac{\nu_+\nu_-}{D^2}}$ )(ch(q $\displaystyle \ell$ ) - cos( $\displaystyle \phi$ )) $\displaystyle \left.\vphantom{ q^2 (\frac{\nu_++\nu_-}{D}) {\rm sh}(q\ell) + 2 \, q (\frac{\nu_+\nu_-}{D^2}) ({\rm ch}(q\ell) - \cos(\phi)) }\right)$ + a D_L q² $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{2 \, D_S}{\Delta^1} \left( q^2 (\frac{\nu_... ...+\nu_-}{D^2}) ({\rm ch}(q\ell) - \cos(\phi)) \right) + a \, D_L \, q^2 }\right]$
		+ $\displaystyle \Omega$ F $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2 \, q}{\Delta^1} }\right.$ $\displaystyle {\frac{2 \, q}{\Delta^1}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2 \, q}{\Delta^1} }\right)$ $\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{\Delta \nu}{\Delta^0} }\right.$ $\displaystyle {\frac{\Delta \nu}{\Delta^0}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{\Delta \nu}{\Delta^0} }\right)$ $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{}{} (\nu_++\nu_-) \left( \frac{}{} \!\! q\... ...) + \frac{\nu_+\nu_-}{D} \, \frac{\ell}{2} \, q\ell \, {\rm sh}(q\ell) }\right.$ $\displaystyle {\frac{}{}}$ ( $\displaystyle \nu_{+}^{}$ + $\displaystyle \nu_{-}^{}$ ) $\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{}{} \!\! q\ell \, {\rm sh}(q\ell) + (\cos(\phi) - {\rm ch}(q\ell)) }\right.$ $\displaystyle {\frac{}{\!}}$ q $\displaystyle \ell$ sh(q $\displaystyle \ell$ ) + (cos( $\displaystyle \phi$ ) - ch(q $\displaystyle \ell$ )) $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{}{} \!\! q\ell \, {\rm sh}(q\ell) + (\cos(\phi) - {\rm ch}(q\ell)) }\right)$ + $\displaystyle {\frac{\nu_+\nu_-}{D}}$ $\displaystyle {\frac{\ell}{2}}$ q $\displaystyle \ell$ sh(q $\displaystyle \ell$ ) $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{}{} (\nu_++\nu_-) \left( \frac{}{} \!\! q\... ...) + \frac{\nu_+\nu_-}{D} \, \frac{\ell}{2} \, q\ell \, {\rm sh}(q\ell) }\right]$ ,
			(B.34)
$\displaystyle \Im$ m( $\displaystyle \omega$ )	=	i $\displaystyle \Omega$ F $\displaystyle {\frac{2 \, q \, \Delta^0}{D^2 \, \Delta^1}}$ sin( $\displaystyle \phi$ ) ,	(B.35)

où nous avons utilisé la constante de diffusion macroscopique D_S = $\Omega$ c_eq⁰ D.

$\bullet$ En faisant usage des distances Schwoebel d₊ et d_- définies par , nous retrouvons les expressions présentées aux chapitre :

$\displaystyle \Re$ e( $\displaystyle \omega$ )	=	- $\displaystyle \Gamma$ q² $\displaystyle \left[\vphantom{ D_S \, \frac{q}{{\cal D}} \left( 2 \left({\rm ch... ...(\phi) \right) + q(d_++d_-) \; {\rm sh}(q \ell) \right) + a \, D_L q^2 }\right.$ D_S $\displaystyle {\frac{q}{{\cal D}}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ 2 \left({\rm ch}(q \ell)-\cos (\phi) \right) + q(d_++d_-) \; {\rm sh}(q \ell) }\right.$ 2 $\displaystyle \left(\vphantom{{\rm ch}(q \ell)-\cos (\phi) }\right.$ ch(q $\displaystyle \ell$ ) - cos( $\displaystyle \phi$ ) $\displaystyle \left.\vphantom{{\rm ch}(q \ell)-\cos (\phi) }\right)$ + q(d₊ + d_-) sh(q $\displaystyle \ell$ ) $\displaystyle \left.\vphantom{ 2 \left({\rm ch}(q \ell)-\cos (\phi) \right) + q(d_++d_-) \; {\rm sh}(q \ell) }\right)$ + a D_Lq² $\displaystyle \left.\vphantom{ D_S \, \frac{q}{{\cal D}} \left( 2 \left({\rm ch... ...(\phi) \right) + q(d_++d_-) \; {\rm sh}(q \ell) \right) + a \, D_L q^2 }\right]$
		+ $\displaystyle \Omega$ F $\displaystyle {\frac{q}{\cal D }}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{d_--d_+}{\ell+d_-+d_+} }\right.$ $\displaystyle {\frac{d_--d_+}{\ell+d_-+d_+}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{d_--d_+}{\ell+d_-+d_+} }\right)$ $\displaystyle \left[\vphantom{ (d_-+d_+) \left( q \ell \; {\rm sh}(q \ell) - {\... ...ell) + \cos (\phi) \right) + \frac{\ell}{2} q \ell \; {\rm sh}(q \ell) }\right.$ (d_- + d₊) $\displaystyle \left(\vphantom{ q \ell \; {\rm sh}(q \ell) - {\rm ch}(q \ell) + \cos (\phi) }\right.$ q $\displaystyle \ell$ sh(q $\displaystyle \ell$ ) - ch(q $\displaystyle \ell$ ) + cos( $\displaystyle \phi$ ) $\displaystyle \left.\vphantom{ q \ell \; {\rm sh}(q \ell) - {\rm ch}(q \ell) + \cos (\phi) }\right)$ + $\displaystyle {\frac{\ell}{2}}$ q $\displaystyle \ell$ sh(q $\displaystyle \ell$ ) $\displaystyle \left.\vphantom{ (d_-+d_+) \left( q \ell \; {\rm sh}(q \ell) - {\... ...ell) + \cos (\phi) \right) + \frac{\ell}{2} q \ell \; {\rm sh}(q \ell) }\right]$ ,
			(B.36)
$\displaystyle \Im$ m( $\displaystyle \omega$ )	=	$\displaystyle \Omega$ F sin( $\displaystyle \phi$ ) $\displaystyle {\frac{q}{\cal D }}$ ( $\displaystyle \ell$ + d₊ + d_-),	(B.37)