Ordre dominant

Dans un premier temps, nous nous restreindrons, afin de rendre plus lisible le déroulement des calculs, au cas du train de marches en phase dans la limite unilatérale définie formellement par d₊ = 0 et d_- $\rightarrow$ + $\infty$. Dans cette limite, les équations [] et [] se réduisent à :

c_m(z_m) = c_eqm  , (C.1)

(qui est la condition de Gibbs-Thomson) et

$$\vec{n}\, \vec{\nabla}\,$$ (C.2)

(les atomes ne descendent pas des terrasses).

Nous avons défini un paramètre $\epsilon$ qui caractérise l'écart par rapport au seuil de l'instabilité :

$$\epsilon {\frac{\Omega \, F \, \ell^4}{2 \, \Gamma \, (D_s \, \ell + D_L \, a )}}$$ (C.3)

Comme nous l'avons vu précédemment, l'instabilité de méandre se développe sur des échelles de longueur d'ordre $\epsilon^{-1/2}_{}$ et de temps d'ordre $\epsilon^{-2}_{}$. Afin d'extraire, des équations du modèle BCF, l'équation dévolution du méandre, nous devons étudier la dynamique de ce dernier sur ses échelles spatiales et temporelles naturelles. Afin de rendre explicite la dépendance en $\epsilon$ des variables spatiales et temporelles nous posons, en accord avec l'analyse linéaire :

$$\epsilon^{-1/2}_{} \epsilon^{-2}_{}$$ , (C.4)

Nous avons de plus vu que dans le régime non linéaire (c'est-à-dire lorsque les non-linéarités deviennent pertinentes), l'amplitude du méandre $\zeta$ est d'ordre $\epsilon^{-1/2}_{}$ et le taux de couverture u d'ordre $\epsilon^{1/2}_{}$. Afin d'exprimer explicitement leurs comportements d'échelle dans les équations, nous définissons H et U, quantités d'ordre un telles que $\zeta$ = $\epsilon^{-1/2}_{}$H et u = $\epsilon^{1/2}_{}$U.

Nous travaillerons de plus avec des variables adimensionnées en renormalisant le temps par $\ell^{2}_{}$/D et les variables spatiales par $\ell$. Afin d'extraire, des conditions limites [] et [], le comportement d'échelle de l'amplitude du méandre, nous effectuons de plus le changement de variable : $\cal {Z}$ = z - $\zeta_{m}^{}$(x, t). Le méandre étant en phase, dans la suite, nous omettrons l'indice m des marches.

Pour simplifier la présentation des calculs, nous avons défini :

$$\eta {\frac{\Omega F \ell^2}{D \epsilon}} {\frac{\Gamma (D_s \ell + D_L a)}{\ell^2 D}}$$ = (C.5)

$$\beta {\frac{D_L \, a}{D_S \, \ell}}$$ = (C.6)

$$\cal {H} \partial_{X}^{}$$ = (C.7)

$$\cal {K} \Omega \Gamma {\frac{\partial_{XX} H}{\left(1 + (\partial_X H)^2 \right)^{3/2}}}$$ = (C.8)

$$\cal {L} {\frac{1}{\sqrt{{\cal H}}}}$$ = (C.9)

La conservation de la matière [] sur les terrasses s'écrit alors :

$$\cal {H} \partial_{\cal ZZ}^{} \epsilon^{1/2}_{} \left(\vphantom{ \eta - 2 \partial_X H \; \partial_{X{\cal Z}}U - \partial_{XX} H \; \partial_{\cal Z}U }\right. \eta \partial_{X}^{} \partial_{X{\cal Z}}^{} \partial_{XX}^{} \partial_{\cal Z}^{} \left.\vphantom{ \eta - 2 \partial_X H \; \partial_{X{\cal Z}}U - \partial_{XX} H \; \partial_{\cal Z}U }\right) \epsilon \partial_{XX}^{}$$ (C.10)

Aux marches, la relation de Gibbs-Thomson à $\cal {Z}$ = 0 et la condition d'annulation du flux à $\cal {Z}$ = 1 prennent la forme :

$$\cal {Z} \cal {K}$$ = (C.11)

$$\cal {H} \partial_{\cal Z}^{} \cal {Z} \epsilon^{1/2}_{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \cal {Z}$$ = (C.12)

La conservation de la masse aux marches (Eq.[]) s'écrit quant à elle :

$$\eta \epsilon^{1/2}_{} \epsilon \partial_{T}^{} \cal {H} \partial_{\cal Z}^{} \cal {Z} \epsilon^{1/2}_{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \cal {Z}$$ =

$$\epsilon \partial_{X}^{} \left(\vphantom{ \beta \, {\cal L} \, \partial_X {\cal K}}\right. \beta \cal {L} \partial_{X}^{} \cal {K} \left.\vphantom{ \beta \, {\cal L} \, \partial_X {\cal K}}\right)$$ (C.13)

En faisant l'hypothèse que les fonctions U et H sont analytiques en $\epsilon^{1/2}_{}$, on peut les exprimer sous forme de développement de Taylor :

$$\epsilon^{1/2}_{} \epsilon \epsilon^{3/2}_{}$$ U = (C.14)

$$\epsilon^{1/2}_{} \epsilon \epsilon^{3/2}_{}$$ H = (C.15)

Dans ce qui suit, la notation F⁽ⁱ⁾ signifie la composante d'ordre i dans le développement en échelle de $\epsilon$ de la grandeur F. Ainsi, $\cal {H}$⁽⁰⁾ = 1 + ($\partial_{X}^{}$H⁽⁰⁾)² et $\cal {H}$^(1/2) = 2 $\partial_{X}^{}$H⁽⁰⁾ $\partial_{X}^{}$H^(1/2).

La procédure est maintenant de résoudre les équations [] à [] aux ordres successifs en $\epsilon$.

Ordre 0

À cet ordre, l'équation [] s'écrit :

$$\partial_{\cal ZZ}^{}$$ (C.16)

et est résolue par U⁽⁰⁾ = A⁽⁰⁾$\cal {Z}$ + B⁽⁰⁾. Les équations [] et [] apportent deux conditions permettant de déterminer les constantes
d'intégrations :  A⁽⁰⁾ = 0 et B⁽⁰⁾ = - $\cal {K}$⁽⁰⁾. Aucune contribution n'est apportée à cet ordre par l'équation de continuité ; c'est-à-dire que cet ordre correspond au cas de l'équilibre.

Ordre 1/2

À partir de l'équation [], nous trouvons que U^(1/2) obéit à l'équation inhomogène suivante :

$$\cal {H} \partial_{\cal ZZ}^{} \eta$$ (C.17)

dont la solution générale prend la forme :

$$\cal {Z} \cal {Z}$$ (C.18)

avec

$${\frac{\eta}{2 \, {\cal H}^{(0)}}}$$ (C.19)

À partir des conditions limites aux marches [] et [] :

$$\cal {K}$$ U^(1/2) = (C.20)

$$\cal {H} \partial_{\cal ZZ}^{} \cal {Z} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{}$$ = (C.21)

on détermine les constantes d'intégration :

$$\eta \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \cal {K} \cal {H}$$ A^(1/2) = (C.22)

$$\cal {K}$$ B^(1/2) = (C.23)

L'équation de conservation de la masse [] est, à cet ordre, compatible avec l'expression de la vitesse de la vitesse moyenne des marches : V = $\eta$ $\epsilon$ (en variables adimensionnées ; soit V₀ = $\Omega$F$\ell$, en variables physiques).

Ordre 1

À cet ordre, U⁽¹⁾ obéit à :

$$\partial_{\cal ZZ}^{} {\frac{1}{{\cal H}^{(0)}}} \left[\vphantom{ \frac{}{} \partial_{XX} H^{(0)} \; \partial_{\cal Z} U^{(1/2)} + 2 \partial_X H^{(0)} \; \partial_{X{\cal Z}} U^{(1/2)} }\right. {\frac{}{}} \partial_{XX}^{} \partial_{\cal Z}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X{\cal Z}}^{}$$ =

$$\left.\vphantom{ \frac{}{} - {\cal H}^{(1/2)} \, \partial_{\cal ZZ} U^{(1/2)} - \partial_{XX} U^{(0)} }\right. {\frac{}{}} \cal {H} \partial_{\cal ZZ}^{} \partial_{XX}^{} \left.\vphantom{ \frac{}{} - {\cal H}^{(1/2)} \, \partial_{\cal ZZ} U^{(1/2)} - \partial_{XX} U^{(0)} }\right]$$

$$\cal {Z}$$ = (C.24)

dont la solution générale s'écrit :

$${\frac{b^{(1)}}{6}} \cal {Z} {\frac{a^{(1)}}{2}} \cal {Z} \cal {Z}$$ (C.25)

avec

$${\frac{1}{{\cal H}^{(0)}}} \left[\vphantom{ \partial_{XX} {\cal K}^{(0)} + \partial_{XX} H^{... ...X H^{(0)} \, \partial_X A^{(1/2)} - 2 \, {\cal H}^{(1/2)} \, a^{(1/2)} }\right. \partial_{XX}^{} \cal {K} \partial_{XX}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \cal {H} \left.\vphantom{ \partial_{XX} {\cal K}^{(0)} + \partial_{XX} H^{... ...X H^{(0)} \, \partial_X A^{(1/2)} - 2 \, {\cal H}^{(1/2)} \, a^{(1/2)} }\right]$$ a⁽¹⁾ = (C.26)

$${\frac{1}{{\cal H}^{(0)}}} \left[\vphantom{ 2 \, a^{(1/2)} \, \partial_{XX} H^{(0)} + 4 \, \partial_X a^{(1/2)} \, \partial_X H^{(0)} }\right. \partial_{XX}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \left.\vphantom{ 2 \, a^{(1/2)} \, \partial_{XX} H^{(0)} + 4 \, \partial_X a^{(1/2)} \, \partial_X H^{(0)} }\right]$$ b⁽¹⁾ = (C.27)

Une fois encore, les constantes d'intégration A⁽¹⁾ et B⁽¹⁾ sont obtenues à partir des conditions limites [] et [] :

$$\cal {Z} \cal {K}$$ = (C.28)

$$\partial_{\cal Z}^{} \cal {Z} {\frac{b^{(1)}}{2}}$$ =

$${\frac{1}{{\cal H}^{(0)}}} \left[\vphantom{ \frac{}{} \partial_X H^{(0)} \; \partial_X U^{(1/2)} + \partial_X H^{(1/2)} \; \partial_X U^{(0)} }\right. {\frac{}{}} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{}$$ =

$$\left.\vphantom{ \frac{}{} {\cal H}^{(1/2)} \, \partial_{\cal Z} U^{(1/2)} }\right. {\frac{}{}} \cal {H} \partial_{\cal Z}^{} \left.\vphantom{ \frac{}{} {\cal H}^{(1/2)} \, \partial_{\cal Z} U^{(1/2)} }\right] \cal {Z}$$ (C.29)

Finalement, l'équation de conservation de la masse aux marches [] conduit à l'équation d'évolution suivante pour H⁽⁰⁾ :

$$\partial_{T}^{} \cal {H} \partial_{\cal Z}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \partial_{X}^{} \left(\vphantom{ \beta \, {\cal L}^{(0)} \, \partial_X {\cal K}^{(0)} }\right. \beta \cal {L} \partial_{X}^{} \cal {K} \left.\vphantom{ \beta \, {\cal L}^{(0)} \, \partial_X {\cal K}^{(0)} }\right)$$ (C.30)

En substituant U⁽¹⁾ et U^(1/2) par leurs expressions respectives, on s'aperçoit que les termes contenant H^(1/2) s'annulent exactement, conduisant à une expression fermée pour l'équation d'évolution de H⁽⁰⁾ :

$$\partial_{T}^{} \partial_{X}^{} \left[\vphantom{ \frac{\eta}{2} \, \frac{\partial_X H^{(0)}}{{\ca... ...^{(0)}} + \beta \, {\cal L}^{(0)} \right) \, \partial_X {\cal K}^{(0)} }\right. {\frac{\eta}{2}} {\frac{\partial_X H^{(0)}}{{\cal H}^{(0)}}} \left(\vphantom{ \frac{1}{{\cal H}^{(0)}} + \beta \, {\cal L}^{(0)} }\right. {\frac{1}{{\cal H}^{(0)}}} \beta \cal {L} \left.\vphantom{ \frac{1}{{\cal H}^{(0)}} + \beta \, {\cal L}^{(0)} }\right) \partial_{X}^{} \cal {K} \left.\vphantom{ \frac{\eta}{2} \, \frac{\partial_X H^{(0)}}{{\ca... ...^{(0)}} + \beta \, {\cal L}^{(0)} \right) \, \partial_X {\cal K}^{(0)} }\right]$$ (C.31)

En revenant aux variables physiques, on obtient l'équation suivante décrite au chapitre :

$$\partial_{t}^{} \zeta \partial_{x}^{} \left[\vphantom{ \frac{\Omega F \ell^2}{2} \; \frac{\partial_x \z... ... \right) \frac{\partial_x (\Gamma \kappa)}{(1+(\partial_x\zeta)^2)} \; }\right. {\frac{\Omega F \ell^2}{2}} {\frac{\partial_x \zeta}{(1+(\partial_x\zeta)^2)}} \left(\vphantom{ D_S \ell + D_L a (1+(\partial_x\zeta)^2)^{1/2} }\right. \ell \partial_{x}^{} \zeta \left.\vphantom{ D_S \ell + D_L a (1+(\partial_x\zeta)^2)^{1/2} }\right) {\frac{\partial_x (\Gamma \kappa)}{(1+(\partial_x\zeta)^2)}} \left.\vphantom{ \frac{\Omega F \ell^2}{2} \; \frac{\partial_x \z... ... \right) \frac{\partial_x (\Gamma \kappa)}{(1+(\partial_x\zeta)^2)} \; }\right]$$ = (C.32)

où $\kappa$ est la courbure de la marche, définie par :

$$\kappa {\frac{\partial_{xx} \zeta}{\left( 1 + \left( \partial_x \zeta \right)^2 \right)^{3/2}}}$$ (C.33)